Objetivo

Obtener la ecuación general de una parábola con vértice en $(h, k)$ y un punto de la parábola conocidos.

Recordatorio

La ecuación ordinaria de una parábola horizontal con vértice en un punto $(h, k)$ es de la forma:

$(y-k)^{2}=4p(x-h)$, si abre hacia la derecha $(y-k)^{2}=-4p(x-h)$, si abre hacia la izquierda

$$\tag{1}$$

en donde $p$ es la distancia del vértice al foco.

La ecuación ordinaria de una parábola vertical con vértice en un punto $(h, k)$ es de la forma:

$(x-h)^{2}=4p(y-k)$, si abre hacia arriba $(x-h)^{2}=-4p(y-k)$, si abre hacia abajo

$$\tag{2}$$

en donde $p$ es la distancia del vértice al foco.

La ecuación general de cualquier cónica es de la forma:

$$\tag{3} Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$$

Para pasar de la ecuación ordinaria (1) o (2) a la ecuación (3), se debe desarrollar el binomio al cuadrado que está en el lado izquierdo, hacer la multiplicación que está en el lado derecho, pasar todos los términos al lado izquierdo y simplificar.

Si la parábola es horizontal, debe quedar una ecuación de la forma:

$$y^{2}+Dx+Ey+F=0$$

Si la parábola es vertical, debe quedar una ecuación de la forma:

$$x^{2}+Dx+Ey+F=0$$

Solución

Utilizando los pulsadores que se encuentran en el siguiente recuadro interactivo, cambia el valor de las coordenadas del punto conocido y observa cómo se modifica la ecuación ordinaria y general de la parábola cuando x e y asumen valores tanto negativos como positivos.

Parábola horizontal

Ecuación ordinaria de la forma: $(y-k)^{2}=a(x-h)$

Parábola vertical

Ecuación ordinaria de la forma: $(x-h)^{2}=a(y-k)$

Detalle

Para obtener el resto de la información sobre la parábola:

1. Se calcula $p$ como el valor absoluto de $a/4$.
2. Si la parábola es horizontal, el foco está en $(h + a/4, k)$ y la directriz es $x = h-a/4$.
3. Si la parábola es vertical, el foco está en $(h, k + a/4)$ y la directriz es $y = k -a/4$.

Para saber hacia donde abre la parábola se considera:

Ejemplos

En el siguiente recuadro interactivo, observa cómo se determina la ecuación general de la parábola con vértice en $(h,k)$, que pasa por un punto conocido. Presiona el pulsador que se sitúa en el extremo superior izquierdo del cuadro y avanza en la solución tratando de comprender cada uno de los pasos. Analiza otros ejemplos al dar clic sobre el botón que se ubica en el extremo superior derecho.

Ejercicios

Escribe el resultado en los campos de texto del cuadro. Recuerda que al hacer clic sobre un campo de texto se despliega la calculadora que te permite escribir el resultado y finalmente presiona Intro. Si tu respuesta es correcta, se inhabilitará el campo de texto; en caso contrario, deberás reintentarlo. Al terminar se desplegará un botón que te permitirá acceder a otro ejercicio.