Objetivo

Obtener la ecuación general de una parábola con vértice en $(h, k)$ y conociendo la ecuación de la directriz.

Recordatorio

La ecuación ordinaria de una parábola horizontal con vértice en un punto $(h, k)$ es de la forma:

$(y-k)^{2}=4p(x-h)$, si abre hacia la derecha $(y-k)^{2}=-4p(x-h)$, si abre hacia la izquierda

$$\tag{1}$$

en donde $p$ es la distancia del vértice al foco o del vértice a la directriz.

La ecuación ordinaria de una parábola vertical con vértice en un punto $(h, k)$ es de la forma:

$(x-h)^{2}=4p(y-k)$, si abre hacia arriba $(x-h)^{2}=-4p(y-k)$, si abre hacia abajo

$$\tag{2}$$

en donde $p$ es la distancia del vértice al foco o del vértice a la directriz.

La ecuación general de cualquier cónica es de la forma:

$$\tag{3} Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$$

Para pasar de la ecuación ordinaria (1) ó (2) a la ecuación (3), se pasan todos los términos al lado izquierdo de la ecuación, se desarrolla el binomio al cuadrado y se simplifica.

Si la parabola es horizontal, debe quedar una ecuación de la forma:

$$\tag{4} y^{2}+Dx+Ey+F=0$$

Si la parábola es vertical, debe quedar una ecuación de la forma:

$$\tag{5} x^{2}+Dx+Ey+F=0$$

Procedimiento

Para obtener la ecuación general de una parábola cuyo eje focal es paralelo a uno de los ejes, con vértice en un punto $(h, k)$ y conociendo la ecuación de la directriz:

1. Se calcula $p$, la distancia del vértice a la directriz.
2. Se utiliza la ecuación (1) ó (2) dependiendo de si la directriz es horizontal o vertical.
3. Se elige el signo de $4p$ acuerdo con la posición del vértice respecto a la directriz, según la siguiente tabla:
4. Después, se pasan todos términos al primer miembro de la ecuación, se desarrolla el binomio al cuadrado y se simplifica.

Solución

Utilizando los pulsadores del recuadro interactivo, cambia el valor del vértice $(h, k)$, y el de la directriz. Observa cómo se modifica tanto la gráfica como la ecuación general de la parábola al variar dichos valores.

Parábola horizontal Parábola vertical

Ejemplos

En el siguiente recuadro interactivo, observa cómo se determina la ecuación general de la parábola con vértice en $(h, k)$, cuando se conoce la ecuación de la directriz. Presiona el pulsador que se localiza en el extremo inferior izquierdo y avanza en la solución tratando de comprender cada uno de los pasos. Analiza otros ejemplos, al dar clic en el botón que se encuentra en el extremo inferior derecho del cuadro.

Ejercicios

Selecciona la opción correcta en los cuadros de menú. Tu respuesta se indicará con el texto "Correcto" o "Incorrecto". En los campos de texto como el de p o los diferentes términos de las ecuaciones donde hay que dar una respuesta numérica aparecerá una calculadora. Si la respuesta es correcta se inhabilitará el campo correspondiente y si es incorrecta el campo sigue habilitado para poder cambiarla. Al final se deplegará el botón que te permitirá acceder a otro ejercicio.