Objetivo

Obtener la ecuación general de una parábola con vértice en $(h,k)$ y foco conocido.

Recordatorio

La ecuación ordinaria de una parábola horizontal con vértice en un punto $(h,k)$ es de las formas:

$(y-k)^{2}=4p(x-h)$, si abre hacia la derecha $(y-k)^{2}=-4p(x-h)$, si abre hacia la izquierda

$$\tag{1}$$

en donde $p$ es la distancia del vértice al foco.

La ecuación ordinaria de una parábola vertical con vértice en un punto $(h,k)$ es de las formas:

$(x-h)^{2}=4p(y-k)$, si abre hacia arriba $(x-h)^{2}=-4p(y-k)$, si abre hacia abajo

$$\tag{2}$$

en donde $p$ es la distancia del vértice al foco.

La ecuación general de cualquier cónica es de la forma:

$$\tag{3} Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$$

Para pasar de la ecuación ordinaria (1) o (2) a la ecuación (3), se pasan todos los términos al lado izquierdo de la ecuación, se desarrolla el binomio al cuadrado y se simplifica.

Si la parábola es horizontal, debe quedar una ecuación de la forma:

$$y^{2}+Dx+Ey+F=0$$

Si la parábola es vertical, debe quedar una ecuación de la forma:

$$x^{2}+Dx+Ey+F=0$$

Procedimiento

Para obtener la ecuación general de una parábola cuyo eje focal es paralelo a uno de los ejes, con vértice en un punto $(h,k)$ y foco conocido:

1. Se calcula $p$, la distancia del vértice al foco.
2. Se utiliza la ecuación (1) o (2) de acuerdo a si el vértice y el foco están en la misma recta horizontal o en la misma recta vertical.
3. Se elige el signo del término del segundo miembro de la ecuación, conforme a la posición del vértice respecto al foco, siguiendo la siguiente tabla:
4. Se pasan todos los términos al primer miembro de la ecuación, se desarrolla el binomio cuadrado perfecto y se simplifica.

Solución

Con los pulsadores que se encuentran en el siguiente recuadro interactivo, cambia el valor del vértice, así como de la primera y segunda coordenadas del foco y observa cómo se modifica tanto la gráfica como la ecuación general de la parábola al variar dichos valores. Los pulsadores en la parte inferior derecha de cada gráfica te permiten acercar o alejar la gráfica. Puedes mover los planos en caso de que tu foco o vértice queden fuera de éste. Siempre puedes volver a centrar los planos en el origen y recuperar la escala original oprimiendo el botón Centrar al origen situado bajo cada plano.

Parábola horizontal Parábola vertical

Ejemplos

En el recuadro interactivo que se presenta a continuación, observa cómo se determina la ecuación general de la parábola con vértice en $(h,k)$ y foco alineado horizontal o verticalmente con el vértice. Presiona el pulsador que se sitúa en el extremo inferior izquierdo y avanza en la solución tratando de comprender cada uno de los pasos. Para analizar otros casos, oprime el botón Otro ejemplo ubicado en el extremo superior derecho.

Ejercicios

En el siguiente recuadro interactivo elige de cada menú la opción que consideres adecuada. Escribe las respuestas que sean numéricas en los campos de texto; al hacer clic sobre cada uno ellos aparecerá una calculadora; terminar presionando Intro. Si tu respuesta es correcta, se inhabilitará el campo de texto; de no ser así, inténtalo de nuevo. Al terminar aparecerá el botón que te permitirá acceder a otro ejercicio.