Objetivo

Obtener la ecuación general de una parábola con vértice en el origen, eje focal y un punto conocido.

Recordatorio

La ecuación ordinaria de una parábola horizontal con vértice en el origen es de la forma:

$y^{2}=4px$, si abre hacia la derecha $y^{2}=-4px$, si abre hacia la izquierda $(1)$

en donde $p$ es la distancia del vértice al foco.

La ecuación ordinaria de una parábola vertical con vértice en el origen es de la forma:

$x^{2}=4py$, si abre hacia arriba $x^{2}=-4py$, si abre hacia abajo $(2)$

en donde $p$ es la distancia del vértice al foco.

La ecuación general de cualquier cónica es de la forma:

$$\tag{3} Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$$

Para pasar de la ecuación ordinaria (1) o (2) a la ecuación (3), simplemente se desplazan todos los términos al lado izquierdo de la ecuación.

Solución

Con los pulsadores que se encuentran en el recuadro interactivo que sigue, cambia el valor de las coordenadas del punto conocido y observa cómo se modifica la ecuación ordinaria y general de la parábola. Puedes mover los espacios en caso de que quieras colocar el punto $P$ lejos del origen. Siempre puedes centrar el plano en el origen y regresar a la escala original si presionas el botón Centrar al origen situado bajo cada plano. Los pulsadores localizados en la parte inferior derecha de cada plano te permiten acercarte o alejarte.

Parábola horizontal Parábola vertical

Para encontrar el valor de $a$, se sustituyen las coordenadas del punto conocido en la ecuación
$$y^2=ax \:\: \textup{o} \: \:x^2=ay, \: a=4p$$

Para obtener el resto de la información sobre la parábola:

1. Se calcula $p$ como el valor absoluto de $a/4$.
2. Si la parábola es horizontal, el foco está en $(a/4, 0)$ y la directriz es $x = -a/4$.
3. Si la parábola es vertical, el foco está en $(0, a/4)$, y la directriz es $y = -a/4$.

Para saber hacia dónde abre la parábola se considera:

Ejemplos

En el recuadro interactivo que se muestra a continuación, observa cómo se determina la ecuación general de la parábola con vértice en el origen y que pasa por un punto conocido de la parábola. Presiona el pulsador que se sitúa en el extremo superior izquierdo del cuadro y avanza en la solución tratando de comprender cada uno de los pasos. Analiza otros ejemplos al dar clic sobre el botón que se ubica en el extremo superior derecho.

Ejercicios

Determina lo que se te pida en cada caso. Escribe el resultado en los campos de texto del cuadro y a continuación presiona Intro. Si tu respuesta es correcta, se deshabilitará el campo de texto; en caso contrario, inténtalo de nuevo. Cuando termines aparecerá el botón para acceder a otro ejercicio. Recuerda que al dar doble clic sobre un campo de texto se desplegará la calculadora.