Objetivo
Obtener la ecuación ordinaria de una parábola con vértice en $(h,k)$, eje focal y un punto de la parábola conocidos.
Recordatorio
Las ecuaciones ordinarias de una parábola horizontal con vértice en un punto $(h,k)$ pueden ser:
$(y-k)^{2}=4p(x-h)$, si abre hacia la derecha, $(y-k)^{2}=-4p(x-h)$, si abre hacia la izquierda $(1)$
en donde $p$ es la distancia del vértice al foco.
Las ecuaciones ordinarias de una parábola vertical con vértice en un punto $(h,k)$ pueden ser:
$(x-h)^{2}=4p(y-k)$, si abre hacia arriba $(x-h)^{2}=-4p(y-k)$, si abre hacia abajo $(2)$
en donde $p$ es la distancia del vértice al foco.
Solución
Utiliza los pulsadores que se encuentran en el siguiente recuadro interactivo y cambia el valor de las coordenadas del punto conocido. Observa cómo se modifica la ecuación ordinaria de la parábola cuando $x$ e $y$ asumen valores tanto negativos como positivos. Puedes mover el plano cartesiano si deseas colocar el vértice lejos del origen. Siempre puedes volver a centrar el plano en el origen y regresar a la escala original presionando el botón Centrar al origen situado debajo de cada plano.
Parábola horizontal
Ecuación ordinaria de la forma: $(y-k)^{2}=a(x-h)$
Parábola vertical
Ecuación ordinaria de la forma: $(x-h)^{2}=a(y-k)$
Detalle
Para obtener el resto de la información sobre la parábola:
- Se calcula $p$ como el valor absoluto de $a/4$.
- Si la parábola es horizontal, el foco está en $(h+a/4,k)$ y la directriz es $x = h-a/4$.
- Si la parábola es vertical, el foco está en $(h, k+a/4)$ y la directriz es $y = k -a/4$.
Para saber hacia dónde abre la parábola se considera:
Ejemplos
En el siguiente recuadro interactivo, observa cómo se determina la ecuación general de la parábola con vértice en el punto $(h,k)$ y que pasa por un punto conocido. Presiona el pulsador que se sitúa en el extremo superior izquierdo del cuadro y avanza en la solución tratando de comprender cada uno de los pasos. Analiza otros ejemplos al dar clic sobre el botón que se ubica en el extremo superior derecho.
Ejercicios
Determina lo que se te pida en cada caso. Escribe el resultado en los campos de texto del cuadro y a continuación presiona Intro. Si tu respuesta es correcta, se inhabilitará el campo de texto; en caso contrario, deberás reintentarlo. Al terminar se desplegará un botón que te permitirá acceder a otro ejercicio. Recuerda que al dar doble clic sobre un campo de texto se desplegará la calculadora.
Esta unidad ha sido revisada, adaptada y corregida en junio de 2021 para ser publicada en la Web de RED Descartes dentro del subproyecto denominado Prometeo. Se modifica el título que por error le dieron en la versión original, "Ecuación ordinaria de la parábola con vértice en el origen y dados el eje focal y un punto" cuyos créditos se reflejan después de este apartado.
Actualización: Ángel Cabezudo Bueno
Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.
Autores: Carlos Hernández Garciadiego y Eréndira Itzel García Islas
Edición académica: José Luis Abreu León, Fernando René Martínez Ortiz y Alejandro Radillo Díaz
Edición técnica: Norma Patricia Apodaca Alvarez
Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.
Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán
Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi
Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.
Adaptación: Juan José Rivaud Gallardo
Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi
Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán
Actualización tecnológica y de estilo, 2019.
Actualización: Joel Espinosa Longi
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