Objetivo

Obtener la ecuación general de una parábola con vértice en el origen y ecuación de la directriz conocida.

Recordatorio

La ecuación ordinaria de una parábola horizontal con vértice en el origen es de las formas:

$y^{2}=4px$, si abre hacia la derecha $y^{2}=-4px$, si abre hacia la izquierda $(1)$

en donde $p$ es la distancia del vértice al foco.

La ecuación ordinaria de una parábola vertical con vértice en el origen es de las formas:

$x^{2}=4py$, si abre hacia arriba $x^{2}=-4py$, si abre hacia abajo $(2)$

en donde $p$ es la distancia del vértice al foco.

La ecuación general de cualquier cónica es de la forma:

$$\tag{3} Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$$

Para pasar de la ecuación ordinaria (1) o (2) a la ecuación (3), simplemente se pasan todos los términos al lado izquierdo de la ecuación.

Procedimiento

Para obtener la ecuación general de una parábola cuyo eje focal coincide con uno de los ejes, con vértice en el origen y ecuación de la directriz conocida:

1. Se calcula $p$, la distancia del vértice $(0,0)$ a la directriz.
2. Se utiliza la ecuación (1) o (2) de acuerdo a si la directriz es vertical u horizontal.
3. Se traza el eje focal, que es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el vértice.
4. Se coloca el foco en el eje focal, a una distancia $p$ del vértice, del otro lado de la directriz.
5. Se elige el signo del coeficiente del segundo miembro tomando en cuenta la posición del vértice respecto al foco según la tabla al final del procedimiento.
6. Finalmente se pasan todos los términos del lado izquierdo para obtener la ecuación general de la forma (3).

Solución

Utiliza los pulsadores del siguiente recuadro interactivo; cambia la posición de la directriz sin perder de vista la ecuación general de la parábola. Observa que si la directriz es vertical, la parábola es horizontal y si la directriz es horizontal, la parábola es vertical. Puedes alejar o acercar la imagen con los pulsadores que se encuentran en el extremo inferior derecho de cada recuadro gráfico.

Parábola horizontal Parábola vertical

Ejemplo

En el siguiente recuadro interactivo observa cómo se determina la ecuación general de la parábola con vértice en el origen y ecuación de la directriz conocida. Oprime el pulsador que se localiza en el extremo superior izquierdo y avanza en la solución tratando de comprender cada uno de los pasos. Para analizar otros ejemplos, presiona el botón que se encuentra en el extremo superior de la derecha.

Ejercicios

Determina lo que se te pida en cada caso. Escribe el resultado sobre los campos de texto del cuadro y a continuación presiona Intro. Si tu respuesta es correcta, se inhabilitará el campo de texto; en caso contrario, inténtalo de nuevo. Al terminar aparecerá el botón que te permitirá acceder a un nuevo ejercicio. Recuerda que al dar doble clic sobre un campo de texto se desplegará la calculadora.