Objetivo

Determinar las coordenadas del centro y la medida del radio de una circunferencia a partir de su ecuación en forma general.

Procedimiento

Si en la ecuación general, los coeficientes de $x^{2}$ y $y^{2}$, que deben ser iguales, no son $1$, se divide toda la ecuación entre este coeficiente.

Se debe pasar de la ecuación general:

$$\tag{1} x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$$

a la ecuación ordinaria:

$$\tag{2} (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$$

ya que en ésta, las coordenadas del centro son $(h,k)$ y el radio es $r$. Si al llegar a la ecuación (2) el número que queda a la derecha es cero, significa que la circunferencia tiene radio cero, es decir, la circunferencia es un solo punto. Si el número que queda a la derecha es negativo, entonces no se tiene una raíz cuadrada y por lo tanto la ecuación no representa a una circunferencia

Solución

Ajustar el valor de la escala y/o arrastrar el espacio para acomodar la imagen de la escena

Regresa y modifica los valores de $D$, $E$ y $F$ y observa cómo cambian todos los pasos del desarrollo.

Otra forma de encontrar el centro y el radio de una circunferencia a partir de su ecuación general $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ es identificar estos coeficientes, $D$, $E$ y $F$ con los correspondientes que resultan de desarrollar la ecuación ordinaria $$\tag{3}(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$$ donde $(h, k)$ es el centro y $r$ es el radio. Veamos como hacerlo:

Desarrollando los cuadrados y pasando $r^2$ al primer miembro, resulta $$x^2+y^2-2hx-2ky+h^2+k^2-r^2=0$$ identificando coeficientes en ambas ecuaciones: $$D=-2h,\,E=-2k,\,F=h^2+k^2-r^2$$ obteniendo, en consecuencia que $$h={D \over -2}, \,k={E \over -2}\,\, \text{y} \,\,r=\sqrt{h^2+k^2-F}$$ Ejemplo: Determinar el centro $(h, k)$ y el radio $r$ de la circunferencia que tiene por ecuación general $x^2+y^2-8x+12y-9=0$

Solución: $$-8=-2h,\,12=-2k \to h=4,\, k=-6,\, r=\sqrt{4^2+(-6)^2+9}$$ Por tanto, el centro es $(4,-6)$ y el radio mide $7,81$

Busca valores de $D$, $E$ y $F$ de manera que el término de la derecha de la ecuación (3) sea cero. Para estos valores, la ecuación (3) representa un punto.

Ahora busca valores de $D$, $E$ y $F$, de manera que el término de la derecha de (3) sea negativo. En este caso la ecuación (3) no representa a ninguna circunferencia.

Ejercicios

En los ejercicios que aparecen a continuación, determina el centro y el radio de la circunferencia dada, a partir de su ecuación general. Escribe tu respuesta sobre los campos de texto y a continuación presiona Intro. Si tu respuesta es correcta, se inhabilitará el campo de texto; en caso contrario, inténtalo de nuevo. Al terminar se desplegará el botón que te permitirá acceder a otro ejercicio.