Objetivo

Determinar la intersección de una recta con una circunferencia.

Recordatorio

Una recta puede cortar a una circunferencia en:

• Dos puntos
• Un punto
• Ningún punto

Utiliza el pulsador que se muestra a continuación y observa los distintos tipos de intersecciones que una recta puede tener con una circunferencia.

Razonamiento

Para determinar la intersección de una recta con una circunferencia, basta con resolver de manera simultánea las ecuaciones de la recta y de la circunferencia: $$\begin{aligned} ax + by + c &= 0 \\ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F &= 0 \end{aligned}$$

Solución

Despejar una variable (digamos, $y$ si $b\neq0$) de la ecuación de la recta y sustituirla en la ecuación de la circunferencia.

Al simplificar se obtiene una ecuación de segundo grado $Ax^2+Bx+C=0$, cuyo discriminante es $\triangle=B^2-4AC$ que conduce a los siguientes casos:

• Si $\triangle>0$ Tiene dos soluciones: $\displaystyle x_{1}={-B + \sqrt{\triangle} \over 2A}$ y $\displaystyle x_{2}={-B - \sqrt{\triangle} \over 2A}$
• Si $\triangle=0$ Tiene una solución: $\displaystyle x={-B \over 2A}$
• Si $\triangle<0$ No tiene solución

En caso de existir soluciones, sustituir cada una en la ecuación de la recta para obtener la otra coordenada del punto de intersección.

En la siguiente escena interactiva, cambia los coeficientes de las ecuaciones de la circunferencia y de la recta y observa cómo se definen los puntos de intersección al modificar dichos valores.

Para poder entender el resultado proporcionado por la escena conviene hacer la siguiente aclaración:

Definida la ecuación de la circunferencia asignando valores a D, E y F queda establecido su centro y su radio. La recta queda definida por su pendiente $m=\displaystyle{-a \over b}$ y el punto de corte con el eje de ordenadas $(0, \displaystyle{-c \over b})$.
Podemos cambiar la posición de la recta respecto de la circunferencia variando su pendiente y la ordenada en el origen. Esta variación la realizamos con los pulsadores correspondientes $a$, $b$ y $c$. La variación es discreta y se fija en 0.01 para cada pulsación, en consecuencia hay casos en que la detección del punto de tangencia con la circunferencia (un sólo corte) se hace imposible. Para esta situación se ha incluido el punto medio PM entre los dos puntos de corte, que porporciona una mejor aproximación al punto de tangencia cuando el discriminante $\triangle$ es positivo y muy próximo a cero.

Al pulsar el botón PM, aparte de mostrar el punto medio entre los dos puntos de corte, se dibuja la recta (en color verde) perpendicular a la recta dada $ax +by +c=0$ que pasa por el centro de la circunferencia. Esta recta corta a la circunferencia en dos puntos. Cada uno de estos puntos tiende a confundirse con el mencionado punto medio a medida que el discriminante $\triangle$ positivo se aproxima a 0. Observar que el punto medio, para los casos en que no es posible alcanzar el valor $\triangle=0$ variando los parámetros de la recta, pero queda muy próximo, es una buena aproximación al punto de tangencia.

Detalle

Si la ecuación de la recta $ax+by+c=0$ contiene a la variable $y$, $\, b\neq0$, se debe despejar:

$$\tag{1} y = mx+n$$

Sustituir y en la ecuación de la circunferencia:

$$\tag{2} x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$$ $$\tag{3} x^{2}+(mx+n)^{2}+Dx+E(mx+n)+F=0$$

Al simplificar se obtiene una ecuación de la forma:

$$\tag{4} Ax^{2}+Bx+C=0$$

Si tiene soluciones $x_{1}$ y $x_{2}$, se sustituyen en la ecuación (1) obteniendo:

$y_{1}=mx_{1}+n\,$ y $\, y_{2}=mx_{2}+n$

Los puntos $(x_{1},y_{1})$ y $(x_{2},y_{2})$ son las intersecciones de la recta y la circunferencia.

Puede suceder que la ecuación (4) no tenga solución, cuando $\triangle<0$, en cuyo caso la recta y la circunferencia no se cortan, o que tenga una sola solución, cuando $\triangle=0$, lo que significa que la recta es tangente a circunferencia en un punto.

Si la ecuación de la recta no tiene variable $y$, $\, b=0$, es de la forma $x=k$, recta vertical con pendiente infinita. Se sustituye $x$ por la constante $k$ en la ecuación (2) y se obtiene:

$$k^{2}+y^{2}+Dk+Ey+F=0$$

que es una ecuación de segundo grado en $y$. Si tiene soluciones $y_{1}$ y $y_{2}$, entonces los puntos $(k,y_{1})$ y $(k,y_{2})$ son las intersecciones que se buscan.

Ejemplos

Observa cómo se encuentra la intersección de una recta con una circunferencia. Para ello utiliza el pulsador rotulado Solución paso a paso y avanza en la solución tratando de comprender cada uno de los pasos. Analiza otros ejemplos al dar clic en el botón rotulado Otro ejemplo debajo de la escena.

Ejercicios

Resuelve los siguientes ejercicios, primero en tu cuaderno, y después introduce tu respuesta en el recuadro interactivo que se presenta abajo. Si tu respuesta es correcta, se inhabilitará el campo de texto; en caso contrario, inténtalo de nuevo. Al terminar, se desplegará el botón que te permitirá acceder a otro ejercicio.