Objetivo

Obtener la ecuación de la recta tangente a una circunferencia en uno de sus puntos $(x,y)$.

Razonamiento

La recta tangente a una circunferencia desde un punto de ella es perpendicular al radio que une a dicho punto con el centro de la circunferencia.

Solución

1. Se calcula la pendiente de la recta que une al punto dado con el centro de la circunferencia.
2. Se calcula la ecuación de la recta perpendicular a la anterior, que pasa por el punto dado.
3. Finalmente encontramos la ecuación de la tangente con la fórmula punto-pendiente:
   $$y-y_{1}=-\frac{1}{m}(x-x_{1})$$

Nota: Si $m = 0$, entonces, la pendiente buscada es la correspondiente a la recta vertical que pasa por el punto dado.

Cambia las coordenadas del centro $C(h,k)$ y el valor del radio $r$ para modificar la circunferencia. Arrastra el punto $C$ y observa cómo cambia la tangente y su ecuación. También puedes mover al punto $P$ sobre la circunferencia.

Detalle

Si $C(h,k)$ es el centro de la circunferencia y $P(x_{1},y_{1})$ el punto dado de la circunferencia, se utiliza la fórmula de pendiente de una recta que pasa por dos puntos.

$$m = \frac{y_{1}-k}{x_{1}-h}$$

Observación: Si $x_{1}=h$, entonces $m$ no está definida y el radio es vertical, por lo que la tangente buscada es la correspondiente a la recta horizontal que pasa por $P$:
$$y=y_{1}$$

Una vez encontrada $m$, si $m$ no es cero, la pendiente de la recta tangente que se busca es:

$$m_{1}=-\frac{1}{m}$$

Si $m$ es cero, el radio que pasa por $P$ es horizontal, así que la recta tangente buscada es la recta vertical que pasa por $P$ :

$$x=x_{1}$$

Ejemplos

En el siguiente recuadro observa cómo se determina la ecuación de la recta tangente a una circunferencia desde un punto de ella. Presiona el pulsador que se sitúa en el extremo inferior izquierdo del ejemplo propuesto y avanza en la solución tratando de comprender cada uno de los pasos. Analiza otros ejemplos al dar clic en el botón que se ubica en el extremo inferior derecho del cuadro. Si tienes dificultad para visualizar la circunferencia, puedes acercar o alejar la imagen con el pulsador que está en el extremo inferior derecho de la gráfica.

Ejercicios

Determina lo que se te pida en cada caso. Escribe el resultado sobre los campos de texto del cuadro y a continuación presiona Intro. Si tu respuesta es correcta, se inhabilitará el campo de texto; en caso contrario, inténtalo de nuevo. Al terminar se desplegará el botón que te permitirá acceder a otro ejercicio.