Objetivo

Obtener la ecuación general de una circunferencia con centro en $(h,k)$ que pasa por el punto $(x,y)$

Recordatorio

La ecuación ordinaria o estándar de una circunferencia con centro en un punto $(h,k)$ y radio $r$ es:

$$\tag{1} (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$$

La ecuación general de todas las cónicas es:

$$\tag{2} Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$$

Solución

En el siguiente recuadro interactivo, cambia el valor de $(h,k)$ y de $(a,b)$. Observa cómo cambia $r$ y la ecuación de la circunferencia al modificar dichos valores. Recuerda que puedes acercar o alejar la imagen con el pulsador que se encuentra en el extremo inferior del gráfico.

Procedimiento

El radio $r$ es la distancia del punto $(a,b)$ al centro $(h,k)$. Para encontrar la ecuación general de una circunferencia con centro en un punto $(h,k)$ y que pasa por un punto $(a,b)$ se realiza el siguiente procedimiento:

1. Se sustituyen las coordenadas del punto $(h,k)$ y el valor de $r$ en la ecuación (1) con lo que se obtiene la ecuación ordinaria.
2. Se desarrollan los binomios al cuadrado y se simplifican para obtener una ecuación de la forma (2).

Detalle

Para conocer el radio, se calcula la distancia del centro $O(h,k)$ al punto $P(a,b)$ por donde pasa la circunferencia. Éste es el radio de la circunferencia:

$$\tag{3} r=d(P,O)=\sqrt[ ]{(a-h)^{2}+(b-k)^{2}}$$

Se sustituye este valor y las coordenadas del centro en la ecuación ordinaria (1), observa que como en (1) se necesita $r^{2}$ no es necesario extraer la raíz cuadrada.

Ejemplos

En el siguiente recuadro interactivo, observa cómo se encuentra el radio y cómo se determina la ecuación general de la circunferencia con centro en $(h,k)$ que pasa por un punto $(a,b)$. Presiona el pulsador que se sitúa en el extremo inferior izquierdo del cuadro y avanza en la solución tratando de comprender cada uno de los pasos. Analiza otros ejemplos al dar clic sobre el botón que se ubica en el extremo inferior derecho del cuadro.

Ejercicios

Escribe el resultado en los campos de texto del recuadro interactivo y a continuación, presiona Intro. Si tu respuesta es correcta, se inhabilitará el campo de texto, en caso contrario, deberás reintentarlo. Al terminar, se desplegará un botón que te permitirá acceder a otro ejercicio.