Objetivo

Obtener la ecuación general de una circunferencia con centro en $(h,k)$ y radio $r$.

Recordatorio

La ecuación ordinaria o estándar de una circunferencia con centro en un punto $(h,k)$ y radio $r$ es:

$$\tag{1} (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$$

La ecuación general de todas las cónicas es:

$$\tag{2} Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$$

Solución

En la siguiente escena, cambia el valor de $(h,k)$ y de $r$ para observar cómo se comporta la circunferencia y cómo se modifican sus ecuaciones.

Razonamiento

Para obtener la ecuación general de la circunferencia, primero hay que encontrar la ecuación ordinaria (1) y luego desarrollar los binomios al cuadrado y simplificar hasta obtener una ecuación de la forma (2).

Detalle

Se sustituyen las coordenadas del centro y el radio en la ecuación (1):

$$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$$

Se desarrollan los binomios al cuadrado:

$$x^{2}-2hx+h^{2}+y^{2}-2ky+k^{2}=r^{2}$$

Se pasan todos los términos de lado izquierdo y se simplifica:

$$x^{2}-2hx+h^{2}+y^{2}-2ky+k^{2}-r^{2}=0$$ $$x^{2}+y^{2}-2hx-2ky+(h^{2}+k^{2}-r^{2})=0$$

La ecuación general de la circunferencia con centro un punto $(h,k)$ y radio $r$ es:

$$x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$$

donde $D=-2h$, $E=-2k$, $F=h^{2}+k^{2}-r^{2}$, en este caso, $A=1$, $B=0$, $C=1$.

Ejemplos

En el siguiente recuadro interactivo, observa cómo se determina la ecuación general de la circunferencia con centro en $(h,k)$ y radio conocido. Presiona el pulsador que se sitúa debajo del ejercicio propuesto y avanza en la solución tratando de comprender cada uno de los pasos. Analiza otros ejemplos al dar clic sobre el botón que se ubica en el extremo inferior derecho del cuadro.

Ejercicios

Escribe el resultado en los campos de texto del cuadro y a continuación presiona Intro. Si tu respuesta es correcta, se inhabilitará el campo de texto; en caso contrario, inténtalo nuevamente. Al terminar aparecerá el botón que te permitirá acceder a otro ejercicio.