Objetivo

Obtener la ecuación general de una circunferencia con centro en el origen que pasa por un punto $(x,y)$.

Recordatorio

Cuando el centro de la circunferencia es el origen $(0,0)$ su ecuación ordinaria o estándar es:

$$\tag{1} x^{2}+y^{2}=r^{2}$$

La ecuación general de todas las cónicas es:

$$\tag{2} Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$$

Procedimiento

El radio es la distancia del centro de la circunferencia $O(0,0)$ al punto por donde pasa $P(a,b)$.

Para obtener la ecuación general de una circunferencia con centro en el origen y que pasa por un punto $(a,b)$:

1. Se calcula el radio usando la fórmula de distancia entre dos puntos:
   $$\tag{3} r=d(O,P)=\sqrt{(a-0)^{2}+(b-0)^{2}}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$$ y se sustituye este valor en la ecuación ordinaria (1). Observa que como en la ecuación (1) se necesita el valor $r^{2}$ no es necesario sacar la raíz cuadrada.
2. Una vez obtenida la ecuación ordinaria, se pasan todos los términos al lado izquierdo para obtener la ecuación general de la forma $(2)$.
   La ecuación general de la circunferencia con centro en el origen y radio $r$ es: $$\tag{4} x^{2}+y^{2}-r^{2}=0$$ Comparando con la ecuación (2), se tiene $A=1$, $B=0$, $C=1$, $D=0$, $E=0$, $F=-r^{2}$.

Solución

Con los pulsadores que se presentan en el siguiente recuadro interactivo, cambia los valores de las coordenadas del punto $P(a,b)$ por donde pasa la circunferencia y observa cómo cambia $r$ y qué sucede con la ecuación de la circunferencia al modificar dicho valor. Utiliza el pulsador ubicado en el extremo inferior izquierdo para acercar o alejar la imagen.

Ejemplos

Analiza el procedimiento para obtener la forma general de la circunferencia con centro en el origen que pasa por un punto $(a,b)$.

Ejercicios

Para el punto $(a,b)$ dado, determina el valor del radio, así como la ecuación de la circunferencia con centro en el origen que pasa por dicho punto. Escribe el resultado en los campos de texto del recuadro interactivo que se encuentra a continuación y presiona Intro. Si tu respuesta es correcta, se inhabilitará el campo de texto, en caso contrario, inténtalo de nuevo. Cuando termines, aparecerá el botón que te permitirá acceder a otro ejercicio.