La circunferencia dados el centro y el radio
Ecuación general de la circunferencia con centro en el origen y que pasa por un punto

Objetivo

Obtener la ecuación general de una circunferencia con centro en el origen que pasa por un punto $(x,y)$.

Recordatorio

Cuando el centro de la circunferencia es el origen $(0,0)$ su ecuación ordinaria o estándar es:

$$\tag{1} x^{2}+y^{2}=r^{2}$$

La ecuación general de todas las cónicas es:

$$\tag{2} Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$$

Procedimiento

El radio es la distancia del centro de la circunferencia $O(0,0)$ al punto por donde pasa $P(a,b)$.

Para obtener la ecuación general de una circunferencia con centro en el origen y que pasa por un punto $(a,b)$:

  1. Se calcula el radio usando la fórmula de distancia entre dos puntos:
    $$\tag{3} r=d(O,P)=\sqrt{(a-0)^{2}+(b-0)^{2}}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$$ y se sustituye este valor en la ecuación ordinaria (1). Observa que como en la ecuación (1) se necesita el valor $r^{2}$ no es necesario sacar la raíz cuadrada.
  2. Una vez obtenida la ecuación ordinaria, se pasan todos los términos al lado izquierdo para obtener la ecuación general de la forma $(2)$.
    La ecuación general de la circunferencia con centro en el origen y radio $r$ es: $$\tag{4} x^{2}+y^{2}-r^{2}=0$$ Comparando con la ecuación (2), se tiene $A=1$, $B=0$, $C=1$, $D=0$, $E=0$, $F=-r^{2}$.

Solución

Con los pulsadores que se presentan en el siguiente recuadro interactivo, cambia los valores de las coordenadas del punto $P(a,b)$ por donde pasa la circunferencia y observa cómo cambia $r$ y qué sucede con la ecuación de la circunferencia al modificar dicho valor. Utiliza el pulsador ubicado en el extremo inferior izquierdo para acercar o alejar la imagen.

Ejemplos

Analiza el procedimiento para obtener la forma general de la circunferencia con centro en el origen que pasa por un punto $(a,b)$.

Ejercicios

Para el punto $(a,b)$ dado, determina el valor del radio, así como la ecuación de la circunferencia con centro en el origen que pasa por dicho punto. Escribe el resultado en los campos de texto del recuadro interactivo que se encuentra a continuación y presiona Intro. Si tu respuesta es correcta, se inhabilitará el campo de texto, en caso contrario, inténtalo de nuevo. Cuando termines, aparecerá el botón que te permitirá acceder a otro ejercicio.


Esta unidad ha sido revisada, adaptada y corregida en marzo de 2021 para ser publicada en la Web de RED Descartes dentro del subproyecto denominado Prometeo, manteniendo el mismo nombre que le dieron en la versión original, cuyos créditos se reflejan después de este apartado.

Actualización: Ángel Cabezudo Bueno


Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.

Autores: Carlos Hernández Garciadiego y Eréndira Itzel García Islas

Edición académica: José Luis Abreu León, Fernando René Martínez Ortiz y Alejandro Radillo Díaz

Edición técnica: Norma Patricia Apodaca Alvarez


Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.

Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán

Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi


Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.

Adaptación: Octavio Fonseca Ramos

Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi

Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán


Actualización tecnológica y de estilo, 2019.

Actualización: Joel Espinosa Longi


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