Objetivo

Determinar la ecuación de una de las bisectrices de un triángulo a partir de sus vértices.

Procedimiento

Para determinar la ecuación de una de las bisectrices de un triángulo a partir de sus vértices, se deben obtener las ecuaciones generales de los dos lados que forman el ángulo de interés para poder sustituir los valores de los coeficientes en la fórmula respectiva y, finalmente, con ayuda de la gráfica, identificar la recta bisectriz buscada.

Solución

Sea el triángulo de vertices $P(x_{1},y_{1})$, $Q(x_{2},y_{2})$ y $R(x_{3},y_{3})$ para el que se va a determinar la ecuación de la bisectriz que pasa por el vértice P, es decir, la bisectriz del ángulo formado por los segmentos $PQ$ y $PR$.

Primero, se determina la ecuación de cada recta a la que pertenecen, respectivamente, los dos lados, para ello se utiliza la ecuación de la recta que pasa por dos puntos:

$$PQ: y-y_{1} = \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} (x-x_{1})$$ $$PR: y-y_{1} = \frac{y_{3}-y_{1}}{x_{3}-x_{1}} (x-x_{1})$$

Estas ecuaciones se convierten entonces a su forma general transponiendo todos sus términos al lado izquierdo, de aquí se obtienen ecuaciones de la forma:

$$lado\hspace{3pt} PQ, \hspace{3pt}recta\hspace{3pt}r_{1}:\hspace{6pt}A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z=0$$ $$lado \hspace{3pt}PR, \hspace{3pt}recta\hspace{3pt}r_{2}:\hspace{6pt}A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z=0$$

Posteriormente, a partir de las ecuaciones en forma general de las rectas $r_{1}$, (lado $PQ$) y $r_{2}$‚ (lado $PR$), se sustituye los coeficientes en la siguiente expresión, con la que se obtienen las ecuaciones de las dos bisectrices.

$$\frac{∣A_{1}x+B_{1}y+C_{1} ∣}{\sqrt[ ]{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}}}=\frac{∣A_{2}x+B_{2}y+C_{2} ∣}{\sqrt[ ]{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}}}$$

Finalmente, con ayuda de la gráfica se obtiene la ecuación de la bisectriz buscada.

Ejemplo

En el siguiente ejemplo, se describe el procedimiento para determinar la ecuación de la bisectriz del ángulo $P$ del triángulo $PQR$. Arrastra los vértices del triángulo para asignarles los valores deseados y después presiona el botón Continuar de la parte inferior.

Ejercicios

En el siguiente ejercicio se quiere determinar la ecuación de la bisectriz de uno de los ángulos interiores del triángulo. Selecciona el vértice al cual se le determinará la bisectriz haciendo clic en él, a continuación se mostrarán las ecuaciones generales de los lados correspondientes. Una vez que hayas calculado la ecuación de la bisectriz, selecciona la respuesta correcta.