Objetivo

Determinar la ecuación de la bisectriz del ángulo agudo de dos rectas que se cortan.

Recordatorio

La bisectriz de un ángulo es la recta que divide a dicho ángulo en dos ángulos iguales, y tiene la propiedad de que las distancias de cualquier punto de ella a los lados del ángulo original son iguales.

Mueve el control rojo sobre la bisectriz para comprobar que las dos distancias desde éste hacia los lados del ángulo son iguales.

Procedimiento

Para determinar la ecuación de la bisectriz del ángulo agudo de dos rectas que se cortan, las ecuaciones de las rectas deberán estar en forma general para poder sustituir los valores de los coeficientes en la fórmula respectiva, lo que en realidad, nos permite conocer las ecuaciones de las dos bisectrices.

Solución

Si dos rectas $r_{0}$ y $r_{1}$ se cortan, se forman dos parejas de ángulos suplementarios. Las bisectrices de estos cuatro ángulos son dos rectas perpendiculares que corresponden al lugar geométrico de los puntos $P(x, y)$ que equidistan de $r_{0}$ y $r_{1}$.

$$d(P,r_{0})=d(P,r_{1})$$ $$\frac{∣A_{1}x+B_{1}y+C_{1} ∣}{\sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}}}=\frac{∣A_{0}x+B_{0}y+C_{0} ∣}{\sqrt{A_{0}^{2}+B_{0}^{2}}}$$

Donde $A$, $B$ y $C$ son los coeficientes respectivos de cada recta. Al sustituir los coeficientes en esta última fórmula, se obtienen las ecuaciones de ambas bisectrices.

Ejemplo

En el siguiente ejemplo, se describe el procedimiento para conocer la ecuación de la bisectriz del ángulo agudo formado por dos rectas que se cortan. Eventualmente podrá darse el caso de que las rectas se cortan perpendicularmente, los dos ángulos adyacentes formados son rectos y se darán por válidas las dos bisectrices que se obtienen: la bisectriz $b_{1}$ la forma el ángulo recto $\widehat{r_{1}r_{0}}$ en sentido positivo y la bisectriz $b_{2}$ la forma el ángulo recto $\widehat{r_{0}r_{1}}$ en sentido positivo. Arrastra los puntos, en cada recta, para asignarles los valores deseados o presona el botón Ejemplo Nuevo para obtener rectas aleatoriamente. Después, presiona el botón Continuar.

Ejercicios

En el siguiente ejercicio se va a determinar la ecuación de la bisectriz del ángulo agudo formado en la intersección de dos rectas. De las ecuaciones mostradas, selecciona la respuesta correcta.