Objetivo

Calcular la distancia de un punto a una recta.

Procedimiento

Considerando una recta $r$ cualquiera y un punto $P$ en el plano, la distancia entre ellos se define como la distancia de $P$ al punto de $r$ que esté más cercano a él. El punto más cercano a $P$ sobre recta es el pie (corte) de la perpendicular sobre la recta trazada desde $P$.
Si $r$ tiene ecuación $Ax+By+C=0$ y $P$ presenta las coordenadas $(x_{0},y_{0})$, entonces, la distancia de $P$ a $r$ está dada por la fórmula:

$$d(P,r) = \frac{\vert Ax_{0}+By_{0}+C \vert}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$$

Solución

Se sustituyen los coeficientes de la ecuación general de la recta ($A$, $B$ y $C$) y las coordenadas del punto $(x_{0},y_{0})$ en la fórmula anterior. Debido a que una distancia siempre es una cantidad positiva, se toma el valor absoluto del numerador antes de dividir entre el resultado de la raíz cuadrada.

Ejemplo

En el siguiente ejemplo, se describe el procedimiento para determinar la distancia de un punto a una recta conociendo su ecuación general. Arrastra los puntos azules de la recta y rojo del punto para asignarles los valores deseados. Después, presiona el botón Continuar.

El punto $Q$ es el corte con la recta de la perpendicular trazada despe $P$. La distancia de $P$ a la recta, $d(P,r)$, es la longitud del segmento $PQ$.

Ejercicios

En el siguiente ejercicio, se va a determinar la distancia de la recta $r$ al punto $P$. Primero, elige el segmento que representa la distancia a buscar. Posteriormente, introduce el valor de la distancia y presiona el botón Verificar para comprobar tu resultado. Puedes mover el plano arrastrándolo para visualizar correctamente la gráfica.