Objetivo

Determinar las coordenadas del ortocentro $H(x_h, y_h)$ de un triángulo a partir de sus vértices $A$, $B$ y $C$. El ortocentro es el punto donde se cortan las tres alturas de un triángulo.

Procedimiento

Para determinar las coordenadas del ortocentro $H(x_h, y_h)$ de un triángulo, $\Delta ABC$, es necesario conocer al menos dos ecuaciones de las alturas para resolverlas como un sistema de ecuaciones simultáneas.

Solución

Las alturas de un triángulo $\Delta ABC$ son las rectas $h_a$, $h_b$ y $h_c$ que se trazan perpendicularmente desde cada uno de los vértices hasta el lado opuesto (o su prolongación), que recibe el nombre de base. En cualquier triángulo se pueden trazar las tres alturas, que se cortan en un punto conocido como ortocentro $H(x_h, y_h)$. Para determinar las coordenadas del ortocentro de un triángulo a partir de las coordenadas de los tres vértices, se lleva a cabo el siguiente procedimiento:

Se determinan, al menos, dos ecuaciones de las alturas.
Se obtienen las coordenadas del ortocentro resolviendo estas dos ecuaciones como un sistema de ecuaciones simultáneas lineales con alguno de los métodos que existen.

Ejemplo

A continuación se describe el procedimiento para conocer las coordenadas del ortocentro del triángulo a partir de las coordenadas de los tres vértices. Mueve los vértices del triángulo con los pulsadores o arrástralos en el gráfico. Después presiona Continuar hasta obtener el ortocentro y trata de entender todos los pasos. En todos los ejemplos el ortocentro se determinará con las alturas $h_a$ y $h_b$ trazadas respectivamente desde los vértices $A$ y $B$.
El ortocentro de un triángulo acutángulo es siempre un punto interior al triángulo; si el triángulo es obtusángulo el ortocentro es exterior al triángulo y si el triángulo es rectángulo, el ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto, pues los lados perpendiculares que lo forman coincicen con dos de las alturas.
Si el ortocentro queda fuera de la vista del gráfico en del plano, puedes mover este último (arrátrándolo) convenientemente hasta ubicarlo.
También puedes acercar o alejar el plano usando el pulsador de cambio de escala ubicado en la esquina inferior derecha del plano. Si deseas volver a centrar el plano en el origen y recuperar la escala original, presiona el botón Centrar al origen ubicado bajo el plano.

Ejercicios

Determina las coordenadas del ortocentro del triángulo a partir de dos alturas. Primero, selecciona las alturas con las que se obtendrá el ortocentro haciendo clic en los dos vértices correspondientes para que aparezcan sus ecuaciones. Cuando hayas resuelto el sistema de ecuaciones simultáneas, anota las coordenadas del ortocentro con dos cifras decimales. Presiona el botón Verificar para comprobar el resultado.

Esta unidad ha sido revisada, adaptada y corregida en marzo de 2021 para ser publicada en la Web de RED Descartes dentro del subproyecto denominado Prometeo, manteniendo el mismo nombre que le dieron en la versión original, cuyos créditos se reflejan después de este apartado.

Actualización: Ángel Cabezudo Bueno

Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.

Autores: Octavio Fonseca Ramos, Carlos Hernández Garciadiego

Edición académica: José Luis Abreu León, Fernando René Martínez Ortiz y Alejandro Radillo Díaz

Edición técnica: Norma Patricia Apodaca Alvarez

Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.

Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán

Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi

Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.

Adaptación: Octavio Fonseca Ramos

Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi

Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán

Actualización tecnológica y de estilo, 2019.

Actualización: Joel Espinosa Longi

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