Objetivo

Determinar las coordenadas del baricentro de un triángulo a partir de sus vértices.

Procedimiento

Las medianas de un triángulo son las rectas que pasan, cada una, por un vértice y el punto medio del lado opuesto. En cualquier triángulo se pueden trazar tres medianas, que se intersecan en un punto conocido como baricentro $G$.

Para determinar las coordenadas del baricentro de un triángulo, es necesario conocer al menos dos ecuaciones de las medianas para resolverlas como un sistema de ecuaciones simultáneas.

Una procedimiento alternativo, conocidas las coordenadas cartesianas de los tres vértices de un triángulo, es aplicar la propiedad de que las coordenadas del baricentro $G(x_{G}, y_{G})$ es el valor promedio de las coordenadas respectivas de los vértices.

Sean $A(x_1, y_1),\thinspace B(x_2, y_2),\thinspace C(x_3, y_3)$ los vértices de un triángulo, entonces $$x_G =\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \thinspace y_G = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}$$

Solución

Las medianas de un triángulo son las rectas que pasan, cada una, por un vértice y el punto medio del lado opuesto. En cualquier triángulo se pueden trazar tres medianas, las que se intersectan en un punto conocido como baricentro.

Para determinar las coordenadas del baricentro de un triángulo a partir de las coordenadas de los tres vértices, se lleva a cabo el siguiente procedimiento:

1. Se determinan, al menos, dos ecuaciones de las medianas.
2. Se obtienen las coordenadas del baricentro $G(x_{G}, y_{G})$ resolviendo estas dos ecuaciones como un sistema de ecuaciones simultáneas lineales por cualquiera de los métodos que existen.

Ejemplo

En el ejemplo siguiente, se describe el procedimiento para conocer las coordenadas del baricentro del triángulo a partir de las coordenadas de los tres vértices. Escribe las coordenadas de los vértices del triángulo o arrastra los puntos desde el origen, después presiona el botón Continuar. En todos los casos el baricentro se determinará con las medianas que pasan por los vértices $A$ y $B$.

Ejercicios

En el siguiente ejercicio determina las coordenadas del baricentro del triángulo a partir de dos medianas.

Selecciona las medianas con las que se determinará el baricentro haciendo clic en los dos vértices correspondientes, para que aparezcan sus ecuaciones. Después de haber resuelto el sistema de ecuaciones simultáneas, anota las coordenadas del baricentro. Comprueba el resultado presionando el botón Verificar.