Objetivo

Determinar si dos rectas son paralelas a partir de sus ecuaciones.

Procedimiento

Dos rectas son paralelas, si tienen la misma pendiente.

Es decir, dada la recta $y=mx+b$, una recta paralela a ésta sería $y=mx+c$ con $c≠b$.

En general, dada una recta $y=mx+b$ todas las rectas paralelas a ésta son de la forma $y=mx+c$ con $c≠b$. Para el caso de dos rectas paralelas con $c=b$, ver nota al final de la sección.

Si una recta es vertical, su ecuación tiene la forma $x=c$, y la pendiente no está definida. Todas las rectas verticales son paralelas entre sí.

En el caso de que la ecuación de la recta se encuentre en forma general, es decir que sea de la forma $Ax+By+C=0$, podemos transformarla en una ecuación del tipo $y=mx+b$ si $B≠0$, como sigue:

$$y=-\frac{A}{B}x-\frac{C}{B}$$

Si $B = 0$, la forma general de la recta es $Ax+C=0$, la recta es vertical y se puede escribir en la forma $x=c$.

Nota: Hay un caso especial de paralelismo que se da cuando las rectas son coincidentes, esto significa que todos sus puntos coinciden y se pueden considerar la misma recta.

Las ecuaciones ordinarias de las rectas coincidentes son idénticas, pero sus ecuaciones generales pueden ser distintas. En este caso, los coeficientes de las ecuaciones generales son diferentes pero proporcionales, es decir si las rectas

$Ax+By+C=0$ y $A'x+B'y+C'=0$ son coincidentes se cumple $\displaystyle\frac{A}{A'}=\frac{B}{B'}=\frac{C}{C'}$

Dos rectas coincidentes son $2x-3y+8=0$ y $-4x+6y-16=0$, pues hay proporcionalidad entre sus respectivos coeficientes: $$\displaystyle\frac{2}{-4}=\frac{-3}{6}=\frac{8}{-16}$$

Solución

Ejercicios