Objetivo

Calcular el ángulo obtuso formado por dos rectas que se cortan conociendo sus pendientes.

Procedimiento

Sean las rectas $y = m_1 x + b_1$ y $y = m_2 x + b_2$. El ángulo agudo que forma la intersección de éstas cumple:

$$tan(α) = \frac{|m_2 - m_1|}{|1 + (m_2 m_1)|}$$

Nota: Esta fórmula se aplica cuando ninguna de las rectas forma $90º$ con el eje $OX$. Cuando este es el caso y una de las pendientes $m_1$ o $m_2$ es infinita, el ángulo entre las dos, $α$ queda sin determinar. Si las dos rectas tienen una inclinación de $90ª$ las rectas son paralelas o coincidentes y el ángulo entre las dos es $α=0º$.

Observar en la escena siguiente que no hay problema para calcular el ángulo entre las dos rectas cuando el ángulo de una de ellas es de $90º$. Se puede ver como se forma un triángulo rectánguo con las dos rectas y el eje $OX$ con lo que se puede calcular el ángulo entre las dos rectas teniendo en cuenta que los ángulos agudos en un triángulo rectángulo son complementarios y que los ángulos opuestos por el vértices son iguales.

Por lo tanto,

Nota: Ponga la recta que lleva el punto de control en posición vertical (su ángulo de inclinación será $\theta_2=arc\thinspace tan(m_2)= 90º$) y observará el triángulo rectangulo que se forma con la otra recta y el eje $OX$. El ángulo de inclinación de esta segunda recta es $\theta_1=arc\thinspace tan(m_1)$, de donde resulta que el angulo entre las dos recta es $α=90º-\theta_1$. El ángulo obtuso entre ambas rectas será $\beta=180º-α=180º-(90º-\theta_1)=90º+\theta_1$.

El estudiante podrá resolver el ángulo entre dos rectas para otros casos en los que la disposición del triágulo rectángulo que se forma es diferente al del ejemplo enterior.

Solución

Ejercicio

Puedes mover los puntos de control de las rectas para plantear el problema que desees resolver. Para poder visualizar adecuadamente la escena puedes arrastrarla y/o variar el valor de la escala. Pulsar el botón [Reponer] para centrar la escena y dar el valor por defecto de la escala.