Objetivo

Encontrar el extremo de un segmento conociendo la razón y el otro extremo.

Procedimiento

Dados dos puntos $P(x_{1},y_{1})$ y $Q(x_{2}, y_{2})$, sabemos que el segmento $\overline{PQ}$ puede dividirse en una razón dada $r$, para cualquier número $r≠-1$. En efecto, el punto $R(x_{3},y_{3})$ con:

$\displaystyle x_{3} = \frac{x_{1} + r x_{2}}{1+r} \thinspace$ y $\thinspace \displaystyle y_{3} = \frac{y_{1} + r y_{2}}{1+r}$

satisface la igualdad:

$\displaystyle \frac{PR}{RQ} = r$, donde $r≠-1$

Ahora supongamos que tenemos un segmento $\overline{PR}$ y un número $r$ (con $r≠1$) y se nos pide encontrar el punto $Q$ sobre la recta determinada por el segmento $\overline{PR}$ para el cual se cumple:

$$\frac{PR}{RQ}=r$$

Para resolver este problema consideramos las ecuaciones:

$\displaystyle \frac{x_{1} + r x_{2}}{1+r} = x_{3} \thinspace$ y $\thinspace \displaystyle \frac{y_{1} + r y_{2}}{1+r} = y_{3}$

y despejamos en ellas $x_{2}$ y $y_{2}$. Al hacerlo obtenemos:

$\displaystyle x_{2}= \frac{(1+r)x_{3}-x_{1}}{r} \thinspace$ y $\thinspace \displaystyle y_{2}= \frac{(1+r)y_{3}-y_{1}}{r}$

Entonces, $Q(x_{2},y_{2})$ es el punto buscado.

Ejemplos

Ejercicios

1. Dados los puntos $P(x_{1},y_{1})$ y $R(x_{3},y_{3})$, encuentra el punto $Q(x_{2},y_{2})$ sobre la recta determinada por $P$ y $R$, tal que $\frac{PR}{RQ}=r$. Pulsa Intro para verificar tus resultados.

Recuerda que $\displaystyle x_{2}= \frac{(1+r)x_{3}-x_{1}}{r}$ y $\displaystyle y_{2}= \frac{(1+r)y_{3}-y_{1}}{r}$

2. Responde si el siguiente enunciado es verdadero o falso, y comprueba tu respuesta pulsando el botón Verificar.