Puntos en el plano
Punto extremo de un segmento a partir de la razón y el otro extremo

Objetivo

Encontrar el extremo de un segmento conociendo la razón y el otro extremo.

Procedimiento

Dados dos puntos $P(x_{1},y_{1})$ y $Q(x_{2}, y_{2})$, sabemos que el segmento $\overline{PQ}$ puede dividirse en una razón dada $r$, para cualquier número $r≠-1$. En efecto, el punto $R(x_{3},y_{3})$ con:

$\displaystyle x_{3} = \frac{x_{1} + r x_{2}}{1+r} \thinspace$ y $\thinspace \displaystyle y_{3} = \frac{y_{1} + r y_{2}}{1+r}$

satisface la igualdad:

$\displaystyle \frac{PR}{RQ} = r$, donde $r≠-1$

Ahora supongamos que tenemos un segmento $\overline{PR}$ y un número $r$ (con $r≠1$) y se nos pide encontrar el punto $Q$ sobre la recta determinada por el segmento $\overline{PR}$ para el cual se cumple:

$$\frac{PR}{RQ}=r$$

Para resolver este problema consideramos las ecuaciones:

$\displaystyle \frac{x_{1} + r x_{2}}{1+r} = x_{3} \thinspace$ y $\thinspace \displaystyle \frac{y_{1} + r y_{2}}{1+r} = y_{3}$

y despejamos en ellas $x_{2}$ y $y_{2}$. Al hacerlo obtenemos:

$\displaystyle x_{2}= \frac{(1+r)x_{3}-x_{1}}{r} \thinspace$ y $\thinspace \displaystyle y_{2}= \frac{(1+r)y_{3}-y_{1}}{r}$

Entonces, $Q(x_{2},y_{2})$ es el punto buscado.

Ejemplos

Ejercicios

1. Dados los puntos $P(x_{1},y_{1})$ y $R(x_{3},y_{3})$, encuentra el punto $Q(x_{2},y_{2})$ sobre la recta determinada por $P$ y $R$, tal que $\frac{PR}{RQ}=r$. Pulsa Intro para verificar tus resultados.

Recuerda que $\displaystyle x_{2}= \frac{(1+r)x_{3}-x_{1}}{r}$ y $\displaystyle y_{2}= \frac{(1+r)y_{3}-y_{1}}{r}$

2. Responde si el siguiente enunciado es verdadero o falso, y comprueba tu respuesta pulsando el botón Verificar.


Esta unidad ha sido revisada, adaptada y corregida en febrero de 2021 para ser publicada en la Web de RED Descartes dentro del subproyecto denominado Prometeo, manteniendo el mismo nombre que le dieron en la versión original, cuyos créditos se reflejan después de este apartado.


Actualización: Ángel Cabezudo Bueno


Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.

Autores: Héctor de Jesús Argueta Villamar, María Juana Linares Altamirano y José Luis Abreu León

Edición académica: Fernando René Martínez Ortiz y Octavio Fonseca Ramos

Edición técnica: Norma Patricia Apodaca Alvarez


Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.

Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán

Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi


Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.

Adaptación: Juan José Rivaud Gallardo

Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi

Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán


Actualización tecnológica y de estilo, 2019.

Actualización: Joel Espinosa Longi


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