Objetivo

Calcular la distancia entre dos puntos cualesquiera en el plano cartesiano.

Procedimiento

Sean $P(x_{1},y_{1})$ y $Q(x_{2}, y_{2})$ dos puntos cualesquiera del plano cartesiano.

Para calcular la distancia entre $P$ y $Q$, se obtiene la longitud del segmento $\overline{PQ}$, denotada por $|\overline{PQ}|$, mediante la fórmula:

$$\tag{1} |\overline{PQ}| = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$$

Dicha fórmula es, como se muestra más adelante, una aplicación del teorema de Pitágoras.

Ejemplo

Sean $x_{1}$ , $y_{1}$ las coordenadas del punto $P$, y $x_{2}$, $y_{2}$ las coordenadas del punto $Q$.

Elige otros valores para $x_{1}$, $y_{1}$, $x_{2}$ y $y_{2}$. Comprueba cómo cambia la distancia entre los puntos $P$ y $Q$.

Por lo tanto, para calcular la distancia entre $P$ y $Q$, se sustituyen las coordenadas de cada uno de los puntos en la fórmula (1).

Idea gráfica

Si los puntos $P$ y $Q$ no están en una línea vertical u horizontal, entonces se construye el triángulo rectángulo, que tiene por hipotenusa el segmento $\overline{PQ}$; las longitudes de sus catetos son |$x_{2}-x_{1}$| y |$y_{2}-y_{1}$|.

De acuerdo con el teorema de Pitágoras se tiene que:

$$|\overline{PQ}|^{2} = | x_{2}-x_{1}|^{2}+|y_{2}-y_{1}|^{2}$$

Por otro lado, se sabe que: $|a|^{2}=a^{2}$ para todo número real a, de donde se tiene que:

$$|\overline{PQ}|^{2}=(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}$$

Por lo tanto, $|\overline{PQ}| = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$.

Si los puntos $P$ y $Q$ están alineados, vertical u horizontalmente, uno de los sumandos de la fórmula (1) vale cero, pero inclusive en estos casos es válida la fórmula (1), pues si $y_{2}-y_{1}=0$ , entonces: $|\overline{PQ}| = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}}=|x_{2}-x_{1}|$ que es la longitud de un segmento horizontal.

Ejercicios