Objetivo

Resolver por el método de sustitución un sistema de dos ecuaciones, una ecuación lineal y otra cuadrática.

Procedimiento

Un sistema de ecuaciones con una ecuación lineal y otra cuadrática tiene la forma:

$$\begin{aligned} g x + h y + r &= 0 \\ a x^{2} + b x y + c y^{2} + d x + e y + f &= 0 \end{aligned}$$

y resolverlo significa encontrar números $x$ y $y$ que satisfagan las dos ecuaciones. En esta lección trataremos el caso, cuando $b = 0$ y $c = 0$, es decir, resolveremos el sistema:

$$\tag{1} g x + h y + r = 0$$ $$\tag{2} a x^{2} + d x + e y + f = 0$$

Análisis

Si en la ecuación (2), $a = 0$, entonces, tenemos un sistema de ecuaciones lineales de $2 × 2$, el cual ha sido tratado en otras lecciones, por lo tanto, descartaremos ese caso y supondremos que $a ≠ 0$ y también que en la ecuación (1), $g$ y $h$ no son cero.

Con estas condiciones, lo que se hará es despejar $y$ de la ecuación (1) y sustituir la expresión resultante en la ecuación 2, quedando:

$$\tag{3} y = \frac{-r - g x}{h}$$ $$\tag{4} a x^{2} + d x + e \Big(\frac{-r - g x}{h}\Big) + f = 0$$

De tal manera que al realizar operaciones y agrupar términos semejantes en (4) y queda:

$$\tag{5} a h x^{2} + (d h - e g) x + (f h - e r) = 0$$

Es decir, queda una ecuación de la forma:

$$\tag{6} A x^{2} + B x +C = 0$$

donde: $A =a h$ , $B = d h -e g $ y $C = f h - e r $.

Al resolver (6) y si suponemos que $A≠0$, se pueden tener los siguientes casos:

1. Ninguna raíz real, en el caso en que: $B^{2} - 4 A C < 0$ El sistema no tiene solución
2. Una raíz real, en el caso en que: $B^{2} - 4 A C = 0$ El sistema tiene una sola solución
3. Dos raíces reales, en el caso en que: $B^{2} - 4 A C > 0$ El sistema tiene dos soluciones

Gráficamente, la ecuación lineal representa una recta y la cuadrática una parábola. Por tanto, los tres casos corresponden a las siguientes situaciones gráficas:

1. La recta y la parábola no se intersectan.
2. La recta interseca en un solo punto a la parábola.
3. La recta interseca en dos puntos a la parábola.

Para acomodar la vista de la gráfica en cada ejemplo, será conveniente arrastrar la escena con el puntero o cambiar la escala

Solución

Ejercicios

Resuelve el siguiente sistema en tu cuaderno y comprueba tu respuesta pulsando el botón de Verificar. El programa te dará el resultado con cinco decimales.