Objetivo

Resolver problemas mediante una ecuación cuadrática.

Procedimiento

Un problema que, al traducirlo, produce una ecuación cuadrática de la forma:

$$ax^{2}+bx+c=0$$

puede resolverse utilizando la fórmula general:

$$x = \frac{-b±\sqrt[ ]{b^{2}-4ac}}{2a}$$

Es posible que alguna de las soluciones (si es que existen) no satisfaga las condiciones del problema, en cuyo caso debe ser rechazada.

Solución

Consideremos el siguiente problema:

Un comerciante compró cierto número de sacos de café por $1000$ pesos. Si hubiera comprado $10$ sacos más por el mismo dinero, cada saco le habría costado $5$ pesos menos. ¿Cuántos sacos compró y cuánto le costó cada uno?

Al simbolizar este problema se tiene que si $x$ representa el número de sacos que compró el comerciante, entonces el precio de cada uno de ellos es de $\frac{1000}{x}$. De esta manera, el problema puede reducirse a la solución de la ecuación:

$$(x+10)\Big(\frac{1000}{x}-5\Big)=1000$$

o, de manera equivalente:

$$\frac{1000x}{x}-5x+\frac{10000}{x}-50=1000$$

Al simplificar esta última ecuación y multiplicarla por $x$, se obtiene la ecuación cuadrática:

$$-5x^{2}-50x+10000=0$$

La ecuación se puede simplificar dividiendo todo entre $5$:

$$-x^{2}-10x+2000=0$$

a la que se le puede aplicar la fórmula general con los valores $a=-1$, $b=-10$ y $c=2000$. En el recuadro interactivo que sigue se presenta la solución paso a paso de la ecuación, basta con utilizar el pulsador del extremo superior derecho.

Se rechaza la solución $x_{1}=-50$ que aparece en el paso $5$ puesto que el comerciante no pudo comprar $-50$ sacos de café. Por lo tanto, se compraron $40$ sacos de café a un costo de $\frac{1000}{40}=25$ pesos cada uno.

Ejercicios

En el recuadro interactivo que se encuentra a continuación, resuelve los problemas propuestos siguiendo los pasos indicados para ello, y contestando las preguntas que se plantean en cada uno. Usa el espacio en blanco para hacer operaciones con la calculadora.