Objetivo

Identificar la ecuación cuadrática que sirve para resolver un problema.

Procedimiento

Diversos problemas, al ser traducidos al lenguaje algebraico, dan origen a ecuaciones cuadráticas. Hay que indicar que estas ecuaciones pueden no tener solución, tener una solución o dos soluciones. En el primer caso podemos afirmar que nuestro problema no se puede resolver, mientras que en los otros, sólo se aceptarán las soluciones que satisfagan las condiciones del problema y se rechazarán aquéllas que no lo hagan. En ocasiones, aunque la ecuación tenga dos soluciones, para el problema sólo una es utilizable. Otras veces las dos soluciones de la ecuación son válidas.

Por ejemplo, se desea resolver el siguiente problema:

Se ha comprado cierto número de libros con $600$ pesos, todos al mismo precio. Si cada libro hubiera costado $5$ pesos más, se hubieran comprado $10$ libros menos con los mismos $600$. ¿Cuántos libros se compraron y cuánto costó cada uno?

Aunque este problema tiene dos incógnitas, es posible resolverlo usando sólo una de ellas. Sea $x$ el número de libros que se compraron. Como todos los libros tienen el mismo precio, el precio de cada uno es igual al costo total entre el número de libros comprados, es decir $\frac{600}{x}$.

Ahora, si cada libro hubiera costado $5$ pesos más $(\frac{600}{x}+5)$, se hubieran podido comprar $10$ libros menos, es decir, $(x-10)$ con los mismos $600$. Se puede expresar toda esta información en la ecuación:

$$\Big(\frac{600}{x}+5\Big)(x-10)=600$$

Al realizar la multiplicación indicada se tiene la ecuación:

$$\frac{600}{x} x -\frac{600}{x}(10)+5x-5(10)=600$$

Al simplificar esta última, se obtiene $-\frac{6000}{x}+5x-50=0$ que, al multiplicar por $x$, da origen a la ecuación cuadrática:

$$5x^{2}-50x-6000=0$$

Se puede simplificar la ecuación dividiendo todo entre $5$:

$$x^{2}-10x-1200=0$$

Solución

Una vez que se ha traducido un problema a una ecuación cuadrática, basta con resolverla usando la fórmula general de la ecuación de segundo grado:

$$x= \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$$

Para aplicarla a la ecuación cuadrática del problema debemos sustituir los valores $a=1$, $b=-10$ y $c=-1200$. Esto produce:

Observa que en el paso $5$ se produce una solución negativa $x_{2}=-30$. Tenemos que rechazarla puesto que $x$ representa el número de libros comprados, y la solución no puede ser negativa. Tenemos entonces que se adquirieron $40$ libros y, el precio de cada uno de ellos fue $\frac{600}{40}=15$ pesos.

Ejercicios

En el siguiente recuadro interactivo traduce el problema propuesto al lenguaje algebraico, siguiendo los pasos que se indican para resolverlo, y contesta las preguntas planteadas en cada uno de ellos.