Objetivo

Identificar la ecuación cuadrática que sirve para resolver un problema.

Procedimiento

Diversos problemas, al ser traducidos al lenguaje algebraico, dan origen a ecuaciones cuadráticas. Hay que indicar que estas ecuaciones pueden no tener solución, tener una solución o dos soluciones. En el primer caso podemos afirmar que nuestro problema no se puede resolver, mientras que en los otros, sólo se aceptarán las soluciones que satisfagan las condiciones del problema y se rechazarán aquéllas que no lo hagan. En ocasiones, aunque la ecuación tenga dos soluciones, para el problema sólo una es utilizable. Otras veces las dos soluciones de la ecuación son válidas.

Por ejemplo, se desea resolver el siguiente problema:

Se ha comprado cierto número de libros con $600$ pesos, todos al mismo precio. Si cada libro hubiera costado $5$ pesos más, se hubieran comprado $10$ libros menos con los mismos $600$ . ¿Cuántos libros se compraron y cuánto costó cada uno?

Aunque este problema tiene dos incógnitas, es posible resolverlo usando sólo una de ellas. Sea $x$ el número de libros que se compraron. Como todos los libros tienen el mismo precio, el precio de cada uno es igual al costo total entre el número de libros comprados, es decir $\frac{600}{x}$ .

Ahora, si cada libro hubiera costado $5$ pesos más $(\frac{600}{x}+5)$ , se hubieran podido comprar $10$ libros menos, es decir, $(x-10)$ con los mismos $600$ . Se puede expresar toda esta información en la ecuación:

\Big(\frac{600}{x}+5\Big)(x-10)=600

Al realizar la multiplicación indicada se tiene la ecuación:

\frac{600}{x} x -\frac{600}{x}(10)+5x-5(10)=600

Al simplificar esta última, se obtiene $-\frac{6000}{x}+5x-50=0$ que, al multiplicar por $x$ , da origen a la ecuación cuadrática:

5x^{2}-50x-6000=0

Se puede simplificar la ecuación dividiendo todo entre $5$ :

x^{2}-10x-1200=0

Solución

Una vez que se ha traducido un problema a una ecuación cuadrática, basta con resolverla usando la fórmula general de la ecuación de segundo grado:

x= \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

Para aplicarla a la ecuación cuadrática del problema debemos sustituir los valores $a=1$ , $b=-10$ y $c=-1200$ . Esto produce:

Observa que en el paso $5$ se produce una solución negativa $x_{2}=-30$ . Tenemos que rechazarla puesto que $x$ representa el número de libros comprados, y la solución no puede ser negativa. Tenemos entonces que se adquirieron $40$ libros y, el precio de cada uno de ellos fue $\frac{600}{40}=15$ pesos.

Ejercicios

En el siguiente recuadro interactivo traduce el problema propuesto al lenguaje algebraico, siguiendo los pasos que se indican para resolverlo, y contesta las preguntas planteadas en cada uno de ellos.

Esta unidad ha sido revisada, corregida y actualizada en enero de 2021 para ser publicada en la Web de RED Descartes dentro del subproyecto denominado Prometeo, manteniendo el mismo nombre que le dieron en la versión original, cuyos créditos se reflejan después de este apartado.

Actualización: Ángel Cabezudo Bueno

Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.

Autor: Fernando René Martínez Ortiz

Edición académica: José Luis Abreu León

Edición técnica: Norma Patricia Apodaca Alvarez

Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.

Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán

Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi

Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.

Adaptación: Juan José Rivaud Gallardo

Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi

Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán

Actualización tecnológica y de estilo, 2019.

Actualización: Joel Espinosa Longi

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Los componentes interactivos fueron creados con Descartes que es un producto de código abierto.