Objetivo

Factorizar una diferencia de cubos.

Procedimiento

La diferencia de dos cubos se descompone en dos factores: el primero es la diferencia de los números y el segundo es la suma del cuadrado del primero más el producto de ambos más el cuadrado del segundo. Es decir:

$$a^{3}-b^{3} =(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$$

Solución

La diferencia de dos cubos puede visualizarse de la siguiente manera: supongamos que $a ≥ b$, entonces al cubo de arista $a$ le sustraemos un cubo de arista $b$. El cuerpo restante puede descomponerse en tres paralelepípedos cuyos volúmenes son $a^{2}(a-b)$, $ab(a-b)$ y $b^{2}(a-b)$. Por tanto, al sumar estos volúmenes obtenemos:

$$a^{3}-b^{3}=a^{2}(a-b)+ab(a-b)+b^{2}(a-b)$$

y sacando $(a - b)$ como factor común, llegamos a la identidad:

$$a^{3}-b^{3} =(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$$

El siguiente recuadro interactivo nos permite visualizar la partición del cubo de lado $a$, en el cubo de lado $b$ más los tres paralelepípedos con volúmenes $a^{2}(a-b)$ , $ab(a-b)$ y $b^{2}(a-b)$.

Agrupando términos, podemos ver el segundo miembro de la fórmula como:

$$a^{2}(a-b)+ab(a-b)+b^{2}(a-b)=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$$

Usando esto podemos concluir que se cumple la igualdad $a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$.

Ejercicios

Escribe dentro de los espacios en blanco los valores que necesitan las variables de las siguiente expresiones, para que el producto del lado derecho sea la factorización de la expresión como una diferencia de cubos. Presiona ↵ al terminar de escribir cada valor. Para obtener un valor a través de un cálculo:

1. Se escribe la expresión correspondiente, p.e. $2$x$5$, $3$^$2$ ó $sqrt(36)$
2. Se pulsa Val para igualar al valor, p.e. $2$x$5=10$, $3$^$2=9$ ó $sqrt(36)=6$
3. Se pulsa ⤺ para que quede sólo el valor, p.e. $10$, $9$ ó $6$
4. Se pulsa ↵ para terminar.