Objetivo

Identificar el sistema de ecuaciones lineales de $2×2$ que permite resolver un problema.

Procedimiento

Cuando en un problema se te pide que encuentres dos incógnitas y al traducirlo obtienes un par de ecuaciones lineales, te encuentras ante un sistema de ecuaciones lineales de $2×2$ .

Como ejemplo podemos traducir al lenguaje algebraico el problema que se enuncia a continuación.

Una solución $A$ contiene $3\%$ de alcohol y otra solución $B$ , $6\%$ de alcohol. Se desea mezclar las dos soluciones para obtener $50$ litros de una solución que contenga $4.4\%$ de alcohol. ¿Cuántos litros de cada una de las soluciones ( $A$ y $B$ ) serán necesarios para obtener la solución pedida?

En este ejemplo se tienen dos incógnitas: la cantidad de litros de la solución $A$ (incógnita a la que se le asigna la letra $x$ ) y la cantidad de litros de la solución $B$ (a la cual se le asigna la incógnita $y$ ).

Por un lado, se sabe que el número de litros de la solución $A$ más el número de litros de la solución $B$ debe producir los $50$ litros que se necesitan. De aquí se tiene la ecuación:

x+y=50

Por otro lado, la concentración de alcohol de la solución A ( $3\%$ ) multiplicada por el número de litros de la solución $A$ más la concentración de alcohol de la solución $B$ ( $6\%$ ) multiplicado por el número de litros de la solución $B$ debe producir el porcentaje de alcohol deseado ( $4.4\%$ ) multiplicado por el número de litros totales ( $50$ litros). Se tiene entonces una segunda ecuación:

0.03x+0.06y=0.044(50)

Solución

Una vez que el problema ha quedado expresado como un sistema de ecuaciones lineales de $2×2$ , hay que aplicar alguno de los métodos de solución de este tipo de sistemas para encontrar la respuesta al problema.

\tag{1} x+y=50

\tag{2} 0.03x+0.06y=2.2

Se puede utilizar el método de sustitución puesto que es fácil despejar cualquiera de las incógnitas de la ecuación (1). Así, el anterior sistema es equivalente al sistema:

\tag{3} y=50-x

\tag{4} 0.03x+0.06y=2.2

Sustituyendo el valor de $y$ de la ecuación (3) en la ecuación (4) se obtiene la ecuación:

0.03 x+0.06(50-x)=2.2

Esta es una ecuación lineal que se simplifica como:

-0.03 x+3=2.2

Al resolver esta última ecuación se obtiene que $x ≈ 26.67$ litros. Valor que, al ser sustituido en la ecuación (3) produce $y ≈ 23.33$ litros.

Ejercicios

En el siguiente recuadro interactivo puedes traducir los problemas propuestos al lenguaje algebraico.

Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.

Autor: Fernando René Martínez Ortiz

Edición académica: José Luis Abreu León

Edición técnica: Norma Patricia Apodaca Alvarez

Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.

Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán

Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi

Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.

Adaptación: Juan José Rivaud Gallardo

Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi

Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán

Actualización tecnológica y de estilo, 2019.

Actualización: Joel Espinosa Longi

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Los componentes interactivos fueron creados con Descartes que es un producto de código abierto.