Objetivo

Identificar el sistema de ecuaciones lineales de $2×2$ que permite resolver un problema.

Procedimiento

Cuando en un problema se te pide que encuentres dos incógnitas y al traducirlo obtienes un par de ecuaciones lineales, te encuentras ante un sistema de ecuaciones lineales de $2×2$.

Como ejemplo podemos traducir al lenguaje algebraico el problema que se enuncia a continuación.

Una solución $A$ contiene $3\%$ de alcohol y otra solución $B$, $6\%$ de alcohol. Se desea mezclar las dos soluciones para obtener $50$ litros de una solución que contenga $4.4\%$ de alcohol. ¿Cuántos litros de cada una de las soluciones ($A$ y $B$) serán necesarios para obtener la solución pedida?

En este ejemplo se tienen dos incógnitas: la cantidad de litros de la solución $A$ (incógnita a la que se le asigna la letra $x$) y la cantidad de litros de la solución $B$ (a la cual se le asigna la incógnita $y$).

Por un lado, se sabe que el número de litros de la solución $A$ más el número de litros de la solución $B$ debe producir los $50$ litros que se necesitan. De aquí se tiene la ecuación:

$$x+y=50$$

Por otro lado, la concentración de alcohol de la solución A ($3\%$) multiplicada por el número de litros de la solución $A$ más la concentración de alcohol de la solución $B$ ($6\%$) multiplicado por el número de litros de la solución $B$ debe producir el porcentaje de alcohol deseado ($4.4\%$) multiplicado por el número de litros totales ($50$ litros). Se tiene entonces una segunda ecuación:

$$0.03x+0.06y=0.044(50)$$

Solución

Una vez que el problema ha quedado expresado como un sistema de ecuaciones lineales de $2×2$, hay que aplicar alguno de los métodos de solución de este tipo de sistemas para encontrar la respuesta al problema.

$$\tag{1} x+y=50$$ $$\tag{2} 0.03x+0.06y=2.2$$

Se puede utilizar el método de sustitución puesto que es fácil despejar cualquiera de las incógnitas de la ecuación (1). Así, el anterior sistema es equivalente al sistema:

$$\tag{3} y=50-x$$ $$\tag{4} 0.03x+0.06y=2.2$$

Sustituyendo el valor de $y$ de la ecuación (3) en la ecuación (4) se obtiene la ecuación:

$$0.03 x+0.06(50-x)=2.2$$

Esta es una ecuación lineal que se simplifica como:

$$-0.03 x+3=2.2$$

Al resolver esta última ecuación se obtiene que $x ≈ 26.67$ litros. Valor que, al ser sustituido en la ecuación (3) produce $y ≈ 23.33$ litros.

Ejercicios

En el siguiente recuadro interactivo puedes traducir los problemas propuestos al lenguaje algebraico.