Objetivo

Resolver ecuaciones lineales del tipo $(x + b)^{2} = (x + c)(x + d)$ con $b$, $c$ y $d$ enteros.

Solución

Resolver ecuaciones lineales del tipo $(x + b)^{2} = (x + c)(x + d)$ con $b$, $c$ y $d$ enteros, significa despejar la incógnita $x$.

Analiza el siguiente procedimiento paso a paso, presionando el pulsador, para encontrar el o los valores de $x$. Al terminar verás un gráfico que corresponde al significado geométrico de la solución.

Ejercicio

Idea gráfica

La ecuación $(x+b)^{2}=(x+c)(x+d)$ al desarrollarse queda:
$$x^{2} +2 b x + b^{2} = x^{2} + (c+d) x + cd$$
De donde, al cancelar $x^{2}$, nos deja la ecuación lineal:
$$2 b x + b^{2} = (c+d) x + cd$$
Así, a cada lado de la ecuación, nos quedan las rectas:

$y = 2 b x + b^{2} $ y $y = (c+d) x + cd$
Resolver la ecuación significa encontrar el o los valores de $x$, para los cuales se cumple que $2 b x + b^{2} = (c+d) x + cd$. Es decir, encontrar el punto o los puntos de coincidencia de las rectas.

Casos especiales

Si las rectas $y = 2 b x + b^{2}$ y $y = (c+d)x + cd$ son la misma, entonces cualquier número $x$ es solución de la ecuación.
Si las rectas $y = 2 b x + b^{2}$ y $y = (c+d)x + cd$ son paralelas pero no la misma, entonces la ecuación no tiene solución.
Si las rectas $y = 2 b x + b^{2}$ y $y = (c+d)x + cd$ no son paralelas, entonces se intersecan en un solo punto. En este caso, la ecuación tiene solución única.

Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.

Autora: María Juana Linares Altamirano

Edición académica: José Luis Abreu León

Edición técnica: Norma Patricia Apodaca Alvarez

Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.

Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán

Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi

Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.

Adaptación: Juan José Rivaud Gallardo

Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi

Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán

Actualización tecnológica y de estilo, 2019.

Actualización: Joel Espinosa Longi

Los contenidos de esta unidad didáctica interactiva están bajo una licencia Creative Commons, si no se indica lo contrario.

Los componentes interactivos fueron creados con Descartes que es un producto de código abierto.