Objetivo
Resolver ecuaciones lineales del tipo $a(x + b) = c(x + d)$ con $a$, $b$, $c$ y $d$ racionales.
Otra manera de expresar el objetivo es: resolver ecuaciones lineales del tipo $\frac{a}{b}(x + \frac{c}{d}) = \frac{e}{f}(x + \frac{g}{h})$ con $a$, $c$, $e$ y $g$ son enteros y $b$, $d$, $f$ y $h$ enteros positivos. En caso de tener denominadores negativos, éstos pueden hacerse positivos cambiando el signo al numerador y al denominador simultáneamente.
Solución
Resolver ecuaciones lineales del tipo $\frac{a}{b}(x + \frac{c}{d}) = \frac{e}{f}(x + \frac{g}{h})$ (con $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$, $g$ y $h$ enteros, donde $b$, $d$, $f$ y $h$ son positivos) significa despejar la incógnita $x$.
Analiza el siguiente procedimiento paso a paso para encontrar el o los valores de $x$. A la derecha aparece un gráfico que corresponde al significado geométrico de la solución.
Ejercicio
Resuelve la siguiente ecuación en tu cuaderno y verifica tu resultado sustituyendo los valores de los enteros en las casillas de los valores $a$, $b$, $c$ y $d$ en el apartado de Solución.
Idea gráfica
- Por un lado $y = \frac{a}{b}(x + \frac{c}{d})$ es la ecuación de una recta con pendiente $\frac{a}{b}$ y ordenada al origen igual a $\frac{a·c}{b·d}$.
- Por otro lado $y = \frac{e}{f}(x + \frac{g}{h})$ es la ecuación de una recta con pendiente $\frac{e}{f}$ y ordenada al origen igual a $\frac{e·g}{f·h}$ .
- Resolver la ecuación significa encontrar el valor o los valores de $x$, para los cuales se cumple que $\frac{a}{b}(x + \frac{c}{d}) = \frac{e}{f}(x + \frac{g}{h})$. Es decir, encontrar el o los puntos de coincidencia de las rectas.
Casos especiales
- Si las rectas $y = \frac{a}{b}(x + \frac{c}{d})$ y $y =\frac{e}{f}(x + \frac{g}{h})$ son la misma, entonces cualquier número $x$ es solución de la ecuación.
- Si las rectas $y = \frac{a}{b}(x + \frac{c}{d})$ y $y = \frac{e}{f}(x + \frac{g}{h})$ son paralelas, pero no la misma, entonces la ecuación no tiene solución.
- Si las rectas $y = \frac{a}{b}(x + \frac{c}{d})$ y $y = \frac{e}{f}(x + \frac{g}{h})$ no son paralelas, entonces se intersecan en un solo punto. En este caso, la ecuación tiene solución única.
Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.
Autor: Héctor de Jesús Argueta Villamar
Edición académica: José Luis Abreu León
Edición técnica: Norma Patricia Apodaca Alvarez
Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.
Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán
Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi
Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.
Adaptación: Juan José Rivaud Gallardo
Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi
Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán
Actualización tecnológica y de estilo, 2019.
Actualización: Joel Espinosa Longi
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Los componentes interactivos fueron creados con Descartes que es un producto de código abierto.