Objetivo

Identificar que la parte decimal de un número irracional es infinita y no periódica.

Procedimiento

Los números irracionales son el conjunto de números que no pueden escribirse como la división de dos números enteros. Para las expresiones decimales de números reales existen 3 posibilidades:

Que tengan un número finito de decimales.
Que el número de decimales sea infinito periódico.
Que el número de decimales sea infinito no periódico.

Para demostrar que los números irracionales sólo cumplen con la posibilidad 3, se observa que las opciones 1 y 2 provienen siempre de un número racional.

Solución

Si un número real tiene un número finito de decimales, como por ejemplo $2.354922$, éste puede multiplicarse por una potencia de $10$, en este caso $1000000$ y dividirse entre la misma potencia. Así:
$$2.354922 = \frac{2354922}{1000000}$$

con lo cual se observa que es el cociente de dos enteros.
Si el número de decimales es infinito pero periódico, por ejemplo $0.457457457...$ se pueden encontrar dos números enteros que al dividirlos den este número. En efecto:
$$\tag{Compruébalo tú mismo.} 0.457457457... = \frac{457}{999}$$
Si el número tiene una expresión decimal infinita no periódica, entonces no se puede escribir como la división de dos enteros y, por definición, es un número irracional.

Por ejemplo $\sqrt{2}=1.4142135623730950488026887242097...$ no tiene un periodo.

Los números $\pi$ y $e$ son números irracionales especiales. Observa que en sus expresiones decimales no se puede observar un periodo en el que se repitan los decimales.

Ejercicios

Incrementar el número de decimales con el botón para decir cuál de los siguientes es un número irracional. Oprime el botón a la derecha del número irracional.

Unidades interactivas para bachillerato desarrolladas por la Dirección General de Evaluación Educativa de la UNAM en colaboración con el Instituto de Matemáticas y el Proyecto Arquímedes.

Autores: José Luis Abreu y Alberto Bravo

Edición académica: José Luis Abreu León

Edición técnica: Norma Patricia Apodaca Alvarez

Adaptado a DescartesJS en el proyecto LITE 2013 financiado por CONACyT.

Adaptación: Víctor Hugo García Jarillo y Deyanira Monroy Zariñán

Asesoría técnica: José Luis Abreu León, Oscar Escamilla González y Joel Espinosa Longi

Adaptado para dispositivos móviles por la DGTIC en colaboración con el IMATE y el LITE. Diciembre de 2014.

Adaptación: Juan José Rivaud Gallardo

Asesoría técnica: José Luis Abreu León y Joel Espinosa Longi

Coordinación: Deyanira Monroy Zariñán

Actualización tecnológica y de estilo, 2019.

Actualización: Joel Espinosa Longi

Los contenidos de esta unidad didáctica interactiva están bajo una licencia Creative Commons, si no se indica lo contrario.

Los componentes interactivos fueron creados con Descartes que es un producto de código abierto.