Objetivo

Realizar operaciones combinadas que involucren números racionales incluyendo signos de agrupación.

Procedimiento

Cuando se realizan operaciones que contienen sumas, restas, multiplicaciones y divisiones, pero que además incluyen símbolos de agrupación como paréntesis, corchetes o llaves, siempre se realizan primero las operaciones dentro de los paréntesis o signos de agrupación más internos. Dentro de cada símbolo de agrupación, el orden en que se deben realizar las operaciones es el de siempre: primero multiplicaciones y divisiones, y luego sumas y restas, recorriendo la expresión de izquierda a derecha.

Por ejemplo, consideremos una expresión de la forma:

$$\Big(\frac{a}{b} + \frac{c}{d}·\Big(\frac{e}{f} - \frac{g}{h}\Big)\Big)$$

donde $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$, $g$ y $h$ son enteros. Operamos primero en el paréntesis más interior, que es donde está la resta. Así quedaría:

$\displaystyle \Big(\frac{a}{b} + \frac{c}{d}· {\color{#3467dd}\Big(\frac{e·h - f·g}{f·h} \Big)}\Big)$	Se realiza la resta del paréntesis interior.
$\displaystyle \Big(\frac{a}{b} + \frac{{\color{#e80022}c}·(e·h - f·g)}{{\color{#e80022}d}·f·h}\Big)$	Se realiza el producto antes que la suma.
$\displaystyle \Big(\frac{{\color{#00b900}a·(d·f·h)+ b}·c·((e·h - f·g)}{{\color{#00b900}b}·d·f·h}^{}\Big)$	Se realiza la suma.

Puede haber diversas situaciones, pero siempre hay que aplicar las dos reglas:

• Operar de adentro hacia afuera y de izquierda a derecha.
• Respetar la prioridad de la multiplicación y la división sobre la suma y la resta (es decir, hacer primero las multiplicaciones y divisiones, y luego las sumas y restas).

Veamos un ejemplo más complicado pero con números en vez de letras:

$$\bigg(\bigg(\frac{3}{4} + \frac{2}{3}\bigg)·\frac{5}{7}\bigg) - \bigg(\frac{1}{2}-\bigg(\frac{2}{5} ÷ \frac{5}{3}\bigg)\bigg)$$

Operamos primero dentro de los paréntesis más internos que son los indicados en rojo en la siguiente reescritura de la expresión de arriba:

$$\bigg({\color{#dd0011}\bigg(\frac{3}{4} + \frac{2}{3}\bigg)}·\frac{5}{7}\bigg) -\bigg( \frac{1}{2}-{\color{#dd0011}\bigg(\frac{2}{5} ÷ \frac{5}{3}\bigg)}\bigg)$$

Como los paréntesis marcados en rojo son ajenos, podemos ejecutarlos simultáneamente. Así, obtenemos:

$$\bigg({\color{#dd0011}\frac{9+8}{12}} ·\frac{5}{7}\bigg) -\bigg( \frac{1}{2}-{\color{#dd0011}\frac{6}{25}}\bigg)$$

Simplificando:

$$\bigg(\frac{17}{12} ·\frac{5}{7}\bigg) -\bigg( \frac{25-12}{50}\bigg)$$

Ahora realizamos las operaciones de los paréntesis restantes que son ajenos y ya no están uno dentro de otro. Al hacerlo obtenemos:

$$\frac{85}{84} - \frac{13}{50}$$

Finalmente, realizamos la última operación indicada entre fracciones que es la resta:

$$\frac{85·50-19·84}{84·50} =\frac{4250-1092}{4200}$$

Simplificando:

$$\frac{4250-1092}{4200}=\frac{3158}{4200}=\frac{1579}{2100}$$

Solución

El siguiente recuadro interactivo presenta ejemplos resueltos paso a paso de expresiones con fracciones y paréntesis. Estúdialos antes de pasar a la sección de ejercicios.

Ejercicios

Realiza la siguiente combinación de operaciones, escribe tu resultado en el campo de texto y pulsa el botón Verificar.