Planteamiento del problema: Negocios en pirámide

La propuesta del negocio

Un amigo que está en un negocio te invita a participar en él. Para ingresar debes invertir sólo mil pesos, los cuales recuperarás con una buena ganancia cuando consigas que otras dos personas entren como socios con mil pesos cada una. Tu amigo te dice que es muy fácil conseguir dos persona nuevas, porque la propuesta es la misma: ellos recuperarán su inversión con una pequeña ganancia al traer cada uno a dos nuevos amigos. De los dos mil pesos aportados por los dos nuevos socios que conseguiste, tú obtendrás mil doscientos y los restantes ochocientos pesos irán para el organizador del negocio.

Tu amigo te explica que este proceso se repite y de forma natural se va creando una pirámide de varios pisos o niveles. El nivel $0$ es el del organizador y gran visionario que organizó el negocio; en el nivel $1$ están las dos primeras personas que el organizador invitó; en el nivel $2$ hay cuatro personas, que son las invitadas por los socios del nivel $1$, y así sucesivamente.

En el nivel $n+1$ hay el doble de socios que en el nivel $n$ ya que siempre cada socio consigue a otros dos más.

¡Parece ser un negocio muy seguro! Y, para alentarte aún más, tu amigo te comenta que el organizador, también conocido como la punta de la pirámide, habrá de abandonar el negocio una vez que se alcancen los $10$ niveles completos. A partir de ese momento los dos primeros amigos que invitó serán las puntas de dos pirámides separadas y cobrarán los ochocientos pesos de los nuevos reclutas de la base de la pirámide. Posteriormente, al completarse de nuevo el nivel $10$ en cada una de las nuevas pirámides, el cobro de los ochocientos pesos de los reclutas bajará al nivel siguiente y así sucesivamente. De esta forma, en algún momento tú serás la punta de una pirámide con $10$ niveles y cobrarás los ochocientos pesos de los nuevos reclutas de la base de tu pirámide.

Cuando seas la punta de la pirámide recibirás $1024\times\$800$, que son ¡más de ochocientos mil pesos!

Ahora el negocio no sólo parece ser seguro, ¡parece ser el negocio perfecto! Además, tu amigo te dice que si quieres entrar debes apresurarte ya que hay muchas personas interesadas en participar, pero como tú eres su amigo te está dando la preferencia para que estés en un nivel más alto y seas punta de pirámide antes que los demás.

El negocio no puede fallar porque... ¿quién no tiene mil pesos?