El primer capítulo convierte una intuición cotidiana —reunir elementos con una característica común— en un lenguaje formal para construir y estudiar colecciones.

Un conjunto es una colección de elementos bien definidos y distintos, de modo que pueda decidirse sin ambigüedad si un objeto pertenece o no a ella. Sus elementos pueden ser números, letras, figuras u otros conjuntos. Esta idea, aparentemente sencilla, sirve de base para definir estructuras matemáticas más complejas, entre ellas los conjuntos numéricos, las relaciones y las funciones.

La obra distingue dos formas de determinar conjuntos. Por extensión se escriben explícitamente sus elementos, como al listar las vocales; por comprensión se especifica la propiedad que deben satisfacer, forma especialmente útil cuando los elementos son numerosos o infinitos. La comparación de conjuntos introduce igualdad, inclusión, subconjuntos propios y disyunción; los diagramas de Venn ayudan a visualizar las zonas comunes y exclusivas.

El álgebra de conjuntos combina colecciones mediante unión, intersección, diferencia y complemento, siempre respecto de un universo de referencia. Las leyes de De Morgan conectan la negación con la unión y la intersección. La tabla de contenido anuncia, además, cardinalidad y conteo, conjuntos numéricos, enteros, potenciación y sus leyes, mínimo común múltiplo y máximo común divisor. El fragmento proporcionado no reproduce el desarrollo completo de esos últimos apartados, por lo que se identifican como parte del programa sin atribuirles ejemplos no disponibles.

• Por extensión se enumeran elementos; por comprensión se define una condición que los caracteriza.
• Dos conjuntos son iguales cuando contienen los mismos elementos, independientemente del orden de presentación.
• La inclusión indica que todos los elementos de un conjunto también pertenecen a otro.
• La unión reúne elementos de ambos conjuntos; la intersección conserva los que tienen en común.
• Las leyes de De Morgan permiten expresar el complemento de una unión como intersección de complementos y viceversa.

El segundo capítulo aborda cantidades que no siempre son enteras y estudia cómo expresar relaciones, escalar magnitudes y calcular variaciones proporcionales.

El documento presenta los números racionales y su relación con la recta numérica, además de dedicar apartados a los números fraccionarios y sus operaciones. Las fracciones permiten representar partes de una unidad y cantidades que no se describen adecuadamente con números enteros. La ubicación en la recta numérica aporta una interpretación ordenada de esos valores.

Las razones y proporciones expresan cómo se relacionan dos cantidades. A partir de ellas, la tabla de contenido organiza el estudio de cantidades proporcionales, regla de tres simple y compuesta y método de los signos. En términos didácticos, esta secuencia lleva desde comparar magnitudes hasta resolver problemas en los que intervienen una o varias relaciones proporcionales.

El apartado sobre porcentajes muestra que aumentar o disminuir una cantidad por un porcentaje equivale a multiplicarla por un factor. También advierte que variaciones porcentuales sucesivas se aplican sobre cantidades actualizadas: aumentar un 20 % y luego reducir un 10 % produce un factor neto de 1,08, es decir, un aumento del 8 %. El texto relaciona estos procedimientos con impuestos, estadísticas, rendimiento e interés simple y compuesto.

• Las fracciones y los racionales permiten representar cantidades situadas entre valores enteros.
• Las razones comparan cantidades, mientras que las proporciones expresan equivalencias entre esas relaciones.
• La regla de tres aplica relaciones proporcionales a situaciones con cantidades conocidas y desconocidas.
• Un aumento del x % se representa con el factor 1 + x/100; una disminución, con 1 − x/100.
• El interés simple se calcula sobre el capital inicial; el compuesto considera el capital acumulado.

El tercer capítulo introduce el álgebra como un lenguaje para representar cantidades generales, reconocer estructuras y resolver relaciones de manera sistemática.

A diferencia de la aritmética, que opera principalmente con números concretos, el álgebra utiliza variables para expresar cantidades y relaciones generales. Los monomios combinan un coeficiente con una parte literal; su grado se determina sumando los exponentes de sus variables. Dos monomios pueden reducirse entre sí cuando comparten exactamente la misma parte literal.

Los polinomios reúnen monomios mediante sumas y restas. Un binomio tiene dos términos, un trinomio tres y un polinomio puede tener varios. Al sumar o restar polinomios se agrupan términos semejantes; al multiplicarlos se aplica la propiedad distributiva y luego se simplifican los términos que comparten parte literal.

Los productos notables condensan patrones repetidos de multiplicación. Entre las identidades presentadas están el cuadrado de una suma, el cuadrado de una diferencia y la suma por diferencia. El capítulo también incluye factorización, sistemas de ecuaciones lineales y ecuaciones cuadráticas en su tabla de contenido. Así, la ruta pasa de manipular expresiones a utilizar símbolos para formular y resolver problemas.

• Un monomio está formado por coeficiente y parte literal; su grado depende de los exponentes de sus variables.
• Solo se reducen monomios semejantes: se operan los coeficientes y se conserva la parte literal común.
• Para sumar o restar polinomios se alinean o agrupan términos con las mismas variables y exponentes.
• La multiplicación de polinomios aplica la distributiva a cada término y requiere simplificar el resultado.
• Identidades como (a + b)² = a² + 2ab + b² y (a + b)(a − b) = a² − b² permiten expandir o factorizar.

El cuarto capítulo amplía el estudio hacia un continuo de valores y hacia las relaciones que permiten describir cómo se asocian distintas cantidades.

El prefacio caracteriza los números reales como un espectro continuo de valores necesario para medir magnitudes. La tabla de contenido sitúa en este capítulo las relaciones, las funciones y los tipos de funciones, junto con intervalos y desigualdades. Esta organización vincula el lenguaje de los números con el análisis de correspondencias y condiciones sobre sus valores.

Un intervalo representa un conjunto de números reales delimitado por extremos. Los corchetes indican que un extremo se incluye y los paréntesis que se excluye; por ello, los intervalos pueden ser cerrados, abiertos o semiabiertos. Los intervalos infinitos describen rayos o la recta real completa, y el infinito se escribe con paréntesis porque no es un número real alcanzable que pueda pertenecer al intervalo.

La unión y la intersección permiten combinar intervalos para expresar regiones posibles o restricciones simultáneas. Por ejemplo, el documento muestra que (0, 3] ∪ [2, 5) = (0, 5): los dos intervalos se superponen y juntos cubren todos los valores mayores que 0 y menores que 5. Esta notación prepara el terreno para expresar dominios, rangos y soluciones de inecuaciones.

• Los números reales se interpretan como valores sobre una recta continua.
• Un corchete incluye el extremo y un paréntesis lo excluye.
• Los intervalos semiabiertos combinan inclusión en un extremo y exclusión en el otro.
• Los intervalos infinitos describen rayos; el símbolo de infinito siempre se acompaña de paréntesis.
• La unión reúne regiones y la intersección conserva los valores que pertenecen a todas las condiciones consideradas.

En lugar de buscar necesariamente una igualdad exacta, una inecuación identifica todos los valores que cumplen una condición de orden.

Las desigualdades emplean los signos menor que, mayor que, menor o igual que y mayor o igual que. Sumar o restar la misma cantidad en ambos miembros conserva el sentido de la relación. Multiplicar o dividir por un valor positivo también lo conserva; hacerlo por un valor negativo obliga a invertir el signo. Esta última regla es decisiva al aislar una variable.

Una inecuación lineal contiene la variable en primer grado y suele resolverse con operaciones parecidas a las usadas en ecuaciones. La diferencia esencial está en la interpretación del resultado: puede ser un intervalo con infinitos valores. Si la desigualdad es estricta, el extremo correspondiente se excluye; si admite igualdad, se incluye.

Un sistema de inecuaciones simultáneas exige satisfacer todas las condiciones a la vez, por lo que su solución es la intersección de los conjuntos solución individuales. Para las inecuaciones con valor absoluto, el texto interpreta |x| como distancia al origen: una condición de proximidad produce un intervalo central y una de lejanía puede producir dos intervalos exteriores, unidos entre sí.

• Sumar o restar la misma cantidad a ambos miembros conserva el sentido de la desigualdad.
• Multiplicar o dividir por un número negativo invierte el operador relacional.
• La solución de una inecuación representa un conjunto de valores y puede escribirse con intervalos.
• En un sistema simultáneo se intersectan las soluciones de cada inecuación.
• El valor absoluto expresa distancia: |x| < a describe proximidad y |x| > a describe valores exteriores a una zona central.

El libro combina explicación matemática con recursos visuales e interactivos para proponer distintas formas de acercarse a los conceptos y practicarlos.

El prefacio distingue esta propuesta de los textos tradicionales por integrar código JavaScript de DescartesJS, recursos generados con inteligencia artificial, objetos interactivos, videos y narrativas visuales como cómics. En las páginas reproducidas aparecen diagramas, escenas para practicar operaciones con conjuntos y polinomios y ejercicios sobre porcentajes e inecuaciones.

Estos recursos pueden favorecer la exploración visual de ideas como la intersección de conjuntos o la representación de soluciones en una recta. La práctica interactiva también ofrece una oportunidad para aplicar reglas y comprobar el propio razonamiento. Sin embargo, el documento plantea como propósito central desarrollar comprensión y capacidad de generalización, no limitar el aprendizaje a la manipulación de una interfaz.

La obra está publicada bajo una licencia Creative Commons 4.0 internacional de Reconocimiento-No Comercial-Compartir Igual. El documento identifica también el proyecto iCartesiLibri, las fuentes tipográficas Lato y UbuntuMono y la utilización de herramientas de IA en la elaboración de recursos. Estos datos editoriales forman parte del contexto de producción y distribución de la experiencia didáctica.

• DescartesJS y JavaScript forman parte de los recursos de programación para el libro.
• Las escenas interactivas, los videos y los cómics aportan formatos complementarios de estudio.
• Los diagramas ayudan a visualizar relaciones que también pueden expresarse simbólicamente.
• El objetivo pedagógico declarado incluye comprender, generalizar y modelar situaciones del mundo real.
• La licencia indicada permite compartir la obra bajo condiciones de reconocimiento, uso no comercial y compartir igual.