Lección Interactiva Profesional

Ejercicio 1: Cálculo Numérico

Enunciado: Usa interpolación de Lagrange para aproximar \(f(1.5)\) a partir de los datos \((x_0,y_0)=(1,2)\), \((x_1,y_1)=(2,5)\), \((x_2,y_2)=(3,10)\). Explica cada paso y calcula el valor final.

Paso 1: Paso 1 (entender la idea): La interpolación de Lagrange construye un polinomio \(P_2(x)\) de grado como máximo 2 que pasa exactamente por los 3 puntos dados. Ese polinomio se usa para aproximar \(f(x)\) en valores intermedios (aquí, en \(x=1.5\)).

Paso 2: Paso 2 (definir la fórmula): El polinomio de Lagrange es: \[P_2(x)=\sum_{i=0}^{2} y_i\, L_i(x)\] donde cada base se define como: \[L_i(x)=\prod_{\substack{j=0\\ j\ne i}}^{2} \frac{x-x_j}{x_i-x_j}.\] Pedagógicamente: \(L_i(x)\) sirve para que en \(x=x_i\) valga 1 y en los otros nodos valga 0, haciendo que el polinomio respete los datos.

Paso 3: Paso 3 (identificar nodos y valores): \(x_0=1,\; y_0=2\) \(x_1=2,\; y_1=5\) \(x_2=3,\; y_2=10\).

Paso 4: Paso 4 (calcular \(L_0(x)\)): \[L_0(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}=\frac{(x-2)(x-3)}{(1-2)(1-3)}.\] Ahora simplificamos denominadores: \((1-2)=-1\) y \((1-3)=-2\), por tanto \((1-2)(1-3)=(-1)(-2)=2\). Entonces: \[L_0(x)=\frac{(x-2)(x-3)}{2}.\]

Paso 5: Paso 5 (calcular \(L_1(x)\)): \[L_1(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}=\frac{(x-1)(x-3)}{(2-1)(2-3)}.\] Denominador: \((2-1)=1\), \((2-3)=-1\) y su producto es \(-1\). Por tanto: \[L_1(x)= - (x-1)(x-3)=(x-1)(3-x).\]

Paso 6: Paso 6 (calcular \(L_2(x)\)): \[L_2(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}=\frac{(x-1)(x-2)}{(3-1)(3-2)}.\] Denominador: \((3-1)=2\), \((3-2)=1\) y su producto es \(2\). Entonces: \[L_2(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{2}.\]

Paso 7: Paso 7 (evaluar en \(x=1.5\)): Primero calculamos cada \(L_i(1.5)\). Como \(1.5-2=-0.5\) y \(1.5-3=-1.5\): \[L_0(1.5)=\frac{(1.5-2)(1.5-3)}{2}=\frac{(-0.5)(-1.5)}{2}=\frac{0.75}{2}=0.375.\] Luego: \[L_1(1.5)= - (1.5-1)(1.5-3)=-(0.5)(-1.5)=0.75.\] Y: \[L_2(1.5)=\frac{(1.5-1)(1.5-2)}{2}=\frac{(0.5)(-0.5)}{2}=\frac{-0.25}{2}=-0.125.\]

Paso 8: Paso 8 (combinar con los \(y_i\)): \[P_2(1.5)=y_0L_0(1.5)+y_1L_1(1.5)+y_2L_2(1.5).\] Sustituimos: \[P_2(1.5)=2(0.375)+5(0.75)+10(-0.125).\] Calculamos término a término: \(2\cdot 0.375=0.75\), \(5\cdot 0.75=3.75\), \(10\cdot (-0.125)=-1.25\). Sumamos: \[P_2(1.5)=0.75+3.75-1.25=3.25.\]

Paso 9: Paso 9 (interpretación del resultado): Como el polinomio interpolante coincide exactamente con los datos en \(x=1,2,3\), el valor \(3.25\) es la aproximación interpolada (y, para datos que provengan de un polinomio de grado \(\le 2\), sería exacta).

Resultado: El valor interpolado por Lagrange es \(f(1.5)\approx P_2(1.5)=3.25\).

Ejercicio 2: Cálculo Numérico

Enunciado: Usa interpolación de Lagrange para aproximar \(f(2.2)\) a partir de los datos \((x_0,y_0)=(1,3)\), \((x_1,y_1)=(3,7)\), \((x_2,y_2)=(4,18)\). Explica cada paso y calcula el valor final.

Paso 1: Paso 1 (entender la idea): La interpolación de Lagrange construye un polinomio \(P_2(x)\) de grado como máximo 2 que pasa exactamente por los 3 puntos dados. Ese polinomio se usa para aproximar \(f(x)\) en valores intermedios (aquí, en \(x=2.2\)).

Paso 2: Paso 2 (definir la fórmula): El polinomio de Lagrange es: \[P_2(x)=\sum_{i=0}^{2} y_i\, L_i(x)\] donde cada base se define como: \[L_i(x)=\prod_{\substack{j=0\\ j\ne i}}^{2} \frac{x-x_j}{x_i-x_j}.\] Pedagógicamente: \(L_i(x)\) sirve para que en \(x=x_i\) valga 1 y en los otros nodos valga 0, haciendo que el polinomio respete los datos.

Paso 3: Paso 3 (identificar nodos y valores): \(x_0=1,\; y_0=3\) \(x_1=3,\; y_1=7\) \(x_2=4,\; y_2=18\).

Paso 4: Paso 4 (calcular \(L_0(x)\)): \[L_0(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}=\frac{(x-3)(x-4)}{(1-3)(1-4)}.\] Ahora simplificamos denominadores: \((1-3)=-2\) y \((1-4)=-3\), por tanto \((1-3)(1-4)=(-2)(-3)=6\). Entonces: \[L_0(x)=\frac{(x-3)(x-4)}{6}.\]

Paso 5: Paso 5 (calcular \(L_1(x)\)): \[L_1(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}=\frac{(x-1)(x-4)}{(3-1)(3-4)}.\] Denominador: \((3-1)=2\), \((3-4)=-1\) y su producto es \(-2\). Por tanto: \[L_1(x)= -\frac{(x-1)(x-4)}{2}=\frac{(x-1)(4-x)}{2}.\]

Paso 6: Paso 6 (calcular \(L_2(x)\)): \[L_2(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}=\frac{(x-1)(x-3)}{(4-1)(4-3)}.\] Denominador: \((4-1)=3\), \((4-3)=1\) y su producto es \(3\). Entonces: \[L_2(x)=\frac{(x-1)(x-3)}{3}.\]

Paso 7: Paso 7 (evaluar en \(x=2.2\)): Primero calculamos cada \(L_i(2.2)\). Como \(2.2-3=-0.8\) y \(2.2-4=-1.8\): \[L_0(2.2)=\frac{(2.2-3)(2.2-4)}{6}=\frac{(-0.8)(-1.8)}{6}=\frac{1.44}{6}=0.24.\] Luego: \[L_1(2.2)=\frac{(2.2-1)(4-2.2)}{2}=\frac{(1.2)(1.8)}{2}=\frac{2.16}{2}=1.08.\] Y: \[L_2(2.2)=\frac{(2.2-1)(2.2-3)}{3}=\frac{(1.2)(-0.8)}{3}=\frac{-0.96}{3}=-0.32.\]

Paso 8: Paso 8 (combinar con los \(y_i\)): \[P_2(2.2)=y_0L_0(2.2)+y_1L_1(2.2)+y_2L_2(2.2).\] Sustituimos: \[P_2(2.2)=3(0.24)+7(1.08)+18(-0.32).\] Calculamos término a término: \(3\cdot 0.24=0.72\), \(7\cdot 1.08=7.56\), \(18\cdot (-0.32)=-5.76\). Sumamos: \[P_2(2.2)=0.72+7.56-5.76=2.52.\]

Paso 9: Paso 9 (interpretación del resultado): Como el polinomio interpolante coincide exactamente con los datos en \(x=1,3,4\), el valor \(2.52\) es la aproximación interpolada \(f(2.2)\) dada por \(P_2\) (y si los datos provinieran de un polinomio de grado \(\le 2\), sería exacta).

Resultado: El valor interpolado por Lagrange es \(f(2.2)\approx P_2(2.2)=2.52\).

Ejercicio 3: Cálculo Numérico

Enunciado: Usando el Método de Euler, aproxima la solución de la E.D.O. \[ y'(x)=y-x+1, \quad y(0)=1 \] para \(x=0.4\) con paso \(h=0.2\). Luego, calcula el valor exacto de \(y(0.4)\) y compara (error absoluto).

Paso 1: Identifica el método y los datos: Método de Euler para aproximar la solución de \(y'(x)=f(x,y)\) mediante iteraciones \[ y_{n+1}=y_n+h\,f(x_n,y_n). \] Aquí \(f(x,y)=y-x+1\). El paso es \(h=0.2\) y el punto inicial es \(x_0=0\), \(y_0=1\).

Paso 2: Construye la malla: \(x_{n}=x_0+n\,h\). Con \(h=0.2\): - \(x_0=0\) - \(x_1=0.2\) - \(x_2=0.4\) Queremos \(y_2\), porque corresponde a \(x=0.4\).

Paso 3: Iteración 1 (de \(n=0\) a \(n=1\)): Calcula la pendiente en \((x_0,y_0)=(0,1)\): \[ f(x_0,y_0)=y_0-x_0+1=1-0+1=2. \] Aplica Euler: \[ y_1=y_0+h\,f(x_0,y_0)=1+0.2\cdot 2=1.4. \]

Paso 4: Iteración 2 (de \(n=1\) a \(n=2\)): Calcula la pendiente en \((x_1,y_1)=(0.2,1.4)\): \[ f(x_1,y_1)=y_1-x_1+1=1.4-0.2+1=2.2. \] Aplica Euler: \[ y_2=y_1+h\,f(x_1,y_1)=1.4+0.2\cdot 2.2=1.84. \] Por tanto, la aproximación por Euler es \(y(0.4)\approx 1.84\).

Paso 5: (Comparación) Calcula la solución exacta para poder medir el error: Resolver \(y'(x)=y-x+1\) equivale a \[ y'(x)-y(x)=-x+1. \] Una solución particular se puede probar como \(y_p(x)=ax+b\). Sustituyendo: \(y_p'(x)-y_p(x)=a-(ax+b)= -ax+(a-b).\) Queremos que coincida con \(-x+1\), así que: - Coeficiente de \(x\): \(-a=-1\Rightarrow a=1\) - Término constante: \(a-b=1\Rightarrow 1-b=1\Rightarrow b=0\) Entonces \(y_p(x)=x\). La solución homogénea de \(y'-y=0\) es \(y_h(x)=Ce^{x}\). Así, \(y(x)=Ce^{x}+x\). Usa la condición inicial \(y(0)=1\): \(1=C\cdot e^0+0\Rightarrow C=1\). Por tanto \[ y(x)=e^{x}+x. \]

Paso 6: Calcula el valor exacto en \(x=0.4\) y el error absoluto: \[ y(0.4)=e^{0.4}+0.4. \] Numéricamente: \(e^{0.4}\approx 1.491824697\), entonces \(y(0.4)\approx 1.491824697+0.4=1.891824697\). Error absoluto: \[ |y(0.4)-y_2|\approx |1.891824697-1.84|=0.051824697. \]

Paso 7: (Cómo llevarlo a código Python) Ejecuta la aritmética del método y la comparación: - Actualizas \(y\) dos veces con \(h=0.2\). - Luego comparas con \(e^{x}+x\). (Se muestra en el campo resultado como script breve.)

Resultado: Aproximación Euler: \(y_2=1.84\) para \(x=0.4\). Valor exacto: \(y(0.4)=e^{0.4}+0.4\approx 1.891824697\). Error absoluto: \(\approx 0.051824697\). Código Python (opcional): python import math h = 0.2 x0, y0 = 0.0, 1.0 def f(x, y): return y - x + 1 # Euler: x1, y1 x1 = x0 + h y1 = y0 + h * f(x0, y0) # Euler: x2, y2 x2 = x1 + h y2 = y1 + h * f(x1, y1) # Exacto y_exact = math.exp(x2) + x2 err = abs(y_exact - y2) print("Euler y(0.4) ≈", y2) print("Exacto y(0.4) =", y_exact) print("Error absoluto =", err)

Ejercicio 4: Cálculo Numérico

Enunciado: En una red neuronal, la salida de una neurona se calcula como \(y=\sigma(z)\), donde \(\sigma\) es la sigmoide: \(\sigma(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}\). Se define \(z=wx+b\). Usa Cálculo Numérico para aproximar la derivada \(\frac{dy}{dw}\) en el punto \(w=0.5\), con \(b=0.1\), \(x=2.0\), y \(\varepsilon=10^{-5}\), mediante la diferencia hacia adelante: \[\frac{dy}{dw}\approx \frac{y(w+\varepsilon)-y(w)}{\varepsilon}.\] 1) Calcula \(z(w)\) y \(y(w)\). 2) Calcula \(y(w+\varepsilon)\). 3) Obtén el valor numérico de \(\frac{dy}{dw}\).

Paso 1: Paso 1: Identifica las expresiones numéricas. - Primero calculamos \(z(w)=wx+b\). - Luego evaluamos la salida \(y(w)=\sigma(z(w))=\frac{1}{1+e^{-z(w)}}\). Esto es clave porque el método numérico (diferencia finita) necesita evaluar la función \(y\) en dos puntos: \(w\) y \(w+\varepsilon\).

Paso 2: Paso 2: Calcula \(z(w)\) en \(w=0.5\). \[ z(0.5)=0.5\cdot 2.0 + 0.1 = 1.0 + 0.1 = 1.1. \] Pedagógicamente: separar \(z\) y \(y\) reduce errores y hace visible la dependencia en cadena \(w \to z \to y\).

Paso 3: Paso 3: Calcula \(y(w)=\sigma(z(w))\) con \(z=1.1\). \[ y(0.5)=\frac{1}{1+e^{-1.1}}. \] Numéricamente (aprox.): \(e^{-1.1}\approx 0.332871\), entonces \[ y(0.5)\approx \frac{1}{1+0.332871}=\frac{1}{1.332871}\approx 0.750260. \] Por qué importa: la sigmoide suaviza, por lo que sus valores están en \((0,1)\), ayudando a verificar plausibilidad.

Paso 4: Paso 4: Calcula \(w+\varepsilon\) y su \(z\). \[ \varepsilon=10^{-5},\quad w+\varepsilon=0.5+10^{-5}=0.50001. \] \[ z(0.50001)=0.50001\cdot 2.0 + 0.1 = 1.00002 + 0.1 = 1.10002. \] Pedagógicamente: el incremento es muy pequeño, así que el cambio en \(y\) también será pequeño; de ahí la necesidad de alta precisión numérica.

Paso 5: Paso 5: Calcula \(y(w+\varepsilon)=\sigma(z(0.50001))\) con \(z=1.10002\). \[ y(0.50001)=\frac{1}{1+e^{-1.10002}}. \] Aproximando: \(e^{-1.10002}\approx e^{-1.1}\,e^{-0.00002}\approx 0.332871\cdot 0.999980\approx 0.332864\). Entonces \[ y(0.50001)\approx \frac{1}{1+0.332864}=\frac{1}{1.332864}\approx 0.750265. \] Nota didáctica: una aproximación razonable aquí es suficiente para obtener una derivada aproximada consistente.

Paso 6: Paso 6: Aplica la diferencia hacia adelante para estimar \(\frac{dy}{dw}\). \[ \frac{dy}{dw}\Big|_{w=0.5}\approx \frac{y(0.50001)-y(0.5)}{10^{-5}}. \] Con los valores: \[ \frac{dy}{dw}\approx \frac{0.750265-0.750260}{10^{-5}}=\frac{0.000005}{0.00001}=0.5. \] Interpretación pedagógica: el resultado es la pendiente local de la salida respecto a \(w\). En entrenamiento (backprop), este tipo de derivadas aparece como parte del gradiente.

Paso 7: Paso 7 (opcional para comprobación conceptual): relaciona con la derivada analítica en redes. Si quisieras verificar: \(\frac{dy}{dw}=\sigma'(z)\cdot \frac{dz}{dw}\), con \(\sigma'(z)=\sigma(z)(1-\sigma(z))\) y \(\frac{dz}{dw}=x\). Esto te permite entender por qué el gradiente depende de la activación (\(\sigma\)) y del input (\(x\)).

Resultado: Con \(\varepsilon=10^{-5}\): \(z(0.5)=1.1\), \(y(0.5)\approx 0.750260\); \(z(0.50001)=1.10002\), \(y(0.50001)\approx 0.750265\). Por diferencia finita hacia adelante: \(\frac{dy}{dw}\approx 0.5\). (Dependiendo del redondeo intermedio, el valor puede variar levemente, pero debe quedar cercano a \(0.5\)).

Unidad Didáctica Interactiva

Ejercicio 1: Cálculo Numérico

Ejercicio 2: Cálculo Numérico

Ejercicio 3: Cálculo Numérico

Ejercicio 4: Cálculo Numérico