PROGRAMACIÓN DUNHA DIETA PARA CEBAR ANIMAIS
Téntase programar unha dieta con dous alimentos A e B.
Unha
unidade do alimento A contén 500
calorías; unha unidade de B contén 500 calorías e
|
A | B | mínimo |
Calorías | 500 | 500 | 3000 |
Proteínas | 10 | 20 | 80 |
Prezo | 8 | 12 | ? |
Sexan:
x o número de unidades do alimento A.
y o número de unidades do alimento B.
De acordo con isto, a inecuación 500x + 500y >=3000 representa a restrición ou condición relativa ás calorías.
Igualmente, 10x + 20y >= 80 corresponde á restrición referida á cantidade de proteínas.
Ademais, débese cumprir que x >= 0 e y >= 0, xa que en ningún caso a cantidade de alimentos A ou B pode ser negativa.
Entón ,as restricións do problema son:
1) 500x
+ 500y 3000
que equivale a
x
+ y
6
2) 10x
+ 20y
80 que equivale a
x
+ 2y
8
(A ecuación (1) dividiuse por 500 e a (2) por 10)
Ao
facer o gráfico desta situación,
tendo en conta que
x 0 e y
0, obtense:
A rexión en cor verde é a intersección dos conxuntos solución das inecuacións formuladas e chámase rexión de solucións factibles, xa que as coordenadas de calquera dos seus puntos satisfán as restricións impostas.
Pero aínda non se considerou o prezo posible dos alimentos. Se x e y son as cantidades dos alimentos A e B, respectivamente, e os prezos son 8 e 12, daquela a función custo é:
F = 8x + 12y
Pódese
probar que esta función se optimiza, neste caso
tomando un valor mínimo, para aqueles
valores de x e y que corresponden
a un vértice no gráfico.
Vértices Valor da función custo
(0,6) x = 0; y = 6 F = 8 x 0 + 12 x 6 = 72
F = 72
(4,2) x = 4; y = 2 F = 8 x 4 + 12 x 2 = 32 + 24 = 56
F = 56
(8,0) x = 8; y = 0 F = 8 x 8 + 12 x 0 = 64
F = 64
Dos tres valores da función custo F, o mínimo é 56. Corresponde a x = 4 e y = 2, é dicir, a 4 unidades de A e 2 unidades de B..
Tales cantidades de A e B proporcionan un total de calorías e proteínas de acordo coas esixencias formuladas.
4 unidades de A : 4 x 500 = 2000 calorías
2 unidades de B : 2 x 500 = 1000 calorías
Total = 3000 calorías
4 unidades de A : 4 x 10 = 40 gramos de proteínas
2 unidades de B : 2 x 20 = 40 gramos de proteínas
Total = 80 gramos de proteínas
O custo mínimo para lograr isto é 56. Con esta cantidade, pódense adquirir 4 unidades do alimento A e 2 do B.