Aplicación dos sistemas de inecuacións.

PROGRAMACIÓN DUNHA DIETA PARA CEBAR ANIMAIS

Téntase programar unha dieta con dous alimentos A e B.

Unha unidade do alimento A contén 500 calorías; unha unidade de B contén 500 calorías e 20 gramos de proteínas. A dieta require como mínimo 3000 calorías e 80 gramos de proteínas diarias. Se o prezo dunha unidade de A é 8 e o dunha unidade B é 12, que cantidade de unidades de A e de B debe comprar para satisfacer as esixencias da dieta a un custo mínimo?.

O esquema seguinte mostra as cantidades respectivas en forma ordenada.
 
A B mínimo
Calorías  500 500 3000
Proteínas 10 20 80
Prezo 8 12 ?

Sexan:

x o número de unidades do alimento A.

y o número de unidades do alimento B.

De acordo con isto, a inecuación 500x + 500y >=3000 representa a restrición ou condición relativa ás calorías.

Igualmente, 10x + 20y >= 80 corresponde á restrición referida á cantidade de proteínas.

Ademais, débese cumprir que x >= 0 e y >= 0, xa que en ningún caso a cantidade de alimentos A ou B pode ser negativa.

Entón ,as restricións do problema son:

1) 500x + 500y 3000 que equivale a                                x + y 6

2) 10x + 20y 80     que equivale a                                         x + 2y 8

(A ecuación (1) dividiuse por 500 e a (2) por 10)

Ao facer o gráfico desta situación, tendo en conta que x 0 e y 0, obtense:



 

A rexión en cor verde é a intersección dos conxuntos solución das inecuacións formuladas e chámase rexión de solucións factibles, xa que as coordenadas de calquera dos seus puntos satisfán as restricións impostas.

Pero aínda non se considerou o prezo posible dos alimentos. Se x e y son as cantidades dos alimentos A e B, respectivamente, e os prezos son 8 e 12, daquela a función custo é:

 F = 8x + 12y

Pódese probar que esta función se optimiza, neste caso tomando un valor mínimo, para aqueles valores de x e y que corresponden a un vértice no gráfico.

   Vértices                          Valor da función custo

(0,6) x = 0; y =             F = 8 x 0 + 12 x 6 = 72

                                                   F = 72

(4,2) x = 4; y = 2          F = 8 x 4 + 12 x 2 = 32 + 24 = 56

                                                    F = 56

(8,0) x = 8; y =                F = 8 x 8 + 12 x 0 = 64

                                                   F = 64

                                                                        


Dos tres valores da función custo F, o mínimo é 56. Corresponde a x = 4 e y = 2, é dicir, a 4 unidades de A e 2 unidades de B..

Tales cantidades de A e B proporcionan un total de calorías e proteínas de acordo coas esixencias formuladas.

4 unidades de A : 4 x 500 = 2000 calorías

2 unidades de B : 2 x 500 = 1000 calorías

                             Total = 3000 calorías

4 unidades de A : 4 x 10 = 40 gramos de proteínas

2 unidades de B : 2 x 20 = 40 gramos de proteínas

                            Total = 80 gramos de proteínas

O custo mínimo para lograr isto é 56. Con esta cantidade, pódense adquirir 4 unidades do alimento A e 2 do B.