LIMITES EN EL INFINITO
Análisis
 

7.- Comportamiento de una función cuando x→ +∞  o  x→ -∞
Vamos a estudiar el comportamiento de tres funciones cuando x → +∞ y cuando x→ -∞ .

Dando a x valores grandes positivos , podrás hallar el límite de f(x), g(x) y h(x) cuando x→ +∞. 

Dando a x valores grandes negativos , hallaremos el límite de f(x), g(x) y h(x) cuando x→ -∞.

EJERCICIO 15

Cambiando el valor de x en la escena por valores cada vez mayores positivos o negativos verás las coordenadas de los puntos P, de f(x) (en color verde), Q, de g(x) (en amarillo) y R de h(x) (en rojo). Así hallarás los seis límites, tres cuando x→ +∞ , y otros tres cuando x→ -∞ .

Anota en tu cuaderno los resultados y comprueba que se pueden dar tres casos en las tendencias de las funciones:

a) Que la función se puede hacer tan grande como queramos positiva.  
Tiende a
+∞  
b) Que la función se puede hacer tan grande como queramos en valor absoluto, pero negativa. 
Tiende a
- ∞
c) Que la función se aproxima a un número N tanto como queramos. 
Tiende a N

RESUMEN
Cuando x
→ ∞   y cuando x → -∞ la función puede tener los siguientes límites: 


7.1.-  Límites (x→± ∞) de funciones polinómicas
Aquí tenemos tres funciones polinómicas: f(x)=x2-3x+2 (en color verde) , g(x)=-x2-3x-2 (en amarillo) y h(x)=x3-x+1 (en rojo)
Comprueba en esta escena que dando a x los valores 10, 20, 30..., o sea que si x→+ ∞
f(x) toma valores cada vez más grandes positivos, o sea f(x)
→+ ∞
g(x) toma valores cada vez más grandes en valor absoluto, pero negativos, o sea g(x)
→- ∞
h(x) toma valores cada vez más grandes positivos, o sea h(x)
→+ ∞

En los tres casos, y en general el límite de la función polinómica es infinito, y el signo lo determina la mayor potencia de x.

Análogamente se puede deducir que cuando x→- ∞ una función polinómica tiende a + ∞ o a - ∞ , el signo depende exclusivamente del término de mayor grado.
Compruébalo con las tres funciones de la escena dando a x los valores -10, -20, -30...


7.2.- Límites (x→± ∞) de funciones inversas de polinómicas
Ya hemos visto que todas las funciones polinómicas cumplen que 
¿A qué tienden sus inversas cuando
x→± ∞ ?

En esta escena tienes representadas las inversas de tres funciones polinómicas. 

 

 

 

En cada una de ellas tienes un punto y sus  coordenadas. Cambiando la x de los puntos, averigua el  
 


7.3.- Límites (x→± ∞) del cociente de dos funciones polinómicas
EJERCICIO 16.- Calcula los límites de las siguientes funciones cuando x →+ ∞ y cuando x → -∞ ayudándote de las correspondientes escenas:

  Si te fijas en el grado del polinomio del numerador y en el del denominador, podemos sacar las siguientes conclusiones:

Si , entonces:

Si grado de P > grado de Q (m>n), entonces (el signo es el de )
Si grado de P < grado de Q (m<n), entonces
Si grado de P = grado de Q (m=n), entonces

 
Los límites cuando x
→- ∞ se resuelven de forma similar. Sólo hay que tener en cuenta la regla de los signos y si el exponente de la mayor potencia de x es par o impar.

EJERCICIO 17

Comprueba los límites que has calculado en el ejercicio anterior, aplicando las conclusiones expuestas


       
           
 
Autora: Ángela Nuñez Castaín (2001)

Adaptación a DescartesJS: Ángela Nuñez Castaín y José R. Galo Sánchez (2017)

 
ProyectoDescartes.org. Año 2017
 
 

Licencia de Creative Commons
Los contenidos de esta unidad didáctica están bajo una licencia de Creative Commons si no se indica lo contrario.