INTRODUCCIÓN
Disponemos de un conjunto de bolas
de tres colores rojo, verde y azul, que están distribuidas con
distinta proporción en dos urnas A y B. Admintimos que todas las
bolas representan puntos equiprobables del mismo espacio
muestral E=A U B, A y B incompatibles A ∩ B = ∅
(intersección vacía)
Se trata de un experimento
compuesto, ya que primero hay que elegir aleatoriamente una
urna con la misma probabilidad P(A)=P(B)=0.5 y a continuación
elegir aleatoriamente una bola de esa urna.
El problema que se nos plantea es
el de tener que determinar la probabilidad de que la bola
extraida sea de un determinado color, p.e. rojo y que
escribiremos así P(r). Pero la probabilidad de sacar determinado
color depende de la elección de la urna. Decimos que la
probabilidad de sacar una bola de determinado color está condicionada
al resultado de la elección de urna. La probabilidad
condicionada de sacar color rojo supuesto que se eligió la
urna A se escribe P(r/A) y análogamente P(r/B) es la
probabilidad condicionada de sacar color rojo supuesto que se
eligió la urna B.
A los efectos de hacer fácilmente
un recuento de los disntintos resultados del experimento nos
valemos de tablas de contingencia y de diagramas de árbol. Vemos
como serían estos esquemas para el experimento que nos ocupa

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A
|
B
|
Totales
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r
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3 |
4 |
7 |
v
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3 |
2 |
5 |
a
|
2 |
3 |
5 |
Totales
|
8
|
9
|
17
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Diagrama de conjuntos |
Tabla de contingencia |
Diagrama de árbol |
Por tanto el suceso que consiste en sacar
un color determinado, p.e. rojo, es la unión de dos sucesos
r= (A y r) U (B
y r) = (A ∩ r) U (B ∩ r)
Dado que (A ∩ r) y (B ∩ r) son
sucesos incompatibles, la probabilidad de la unión es la suma
de las probabilidades de cada suceso
P(r) = P(A ∩ r)
+ P(B ∩ r)
En nuestro experimento, esta
expresión se denomina probabilidad total de sacar color
rojo y trataremos que justificar como se calcula. En el diagrama
de árbol hay que fijarse en los distintos recorridos que hay que
hacer hasta obtener el resultado esperado, calcular la
probabilidad que tiene cada recorrido y sumarlas. Así para
calcular la probabilidad de r, obtenemos dos recorrridos A - r
con probabilidad P(A ∩ r) y B - r con probabilidad P(B ∩ r)
CONCEPTOS
- PROBABILIDAD CONDICIONADA
- En la tabla de contingencia anterior observamos que para
calcular p.e P(r/A) hemos reducido el espacio muestral al
conjunto A: P(r/A) =
38
Tabla de probabilidades
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Urna A
|
Urna B
|
Totales
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Bolas rojas
|
P(r
∩ A) |
P(r ∩ B) |
P(r)
|
Bolas verdes
|
P(v ∩ A) |
P(v ∩ B) |
P(v)
|
Bolar azules
|
P(a ∩ A) |
P(a ∩ B) |
P(a)
|
Totales
|
P(A)
|
P(B)
|
1
|
- La probabilidad condicionada
de r supuesto que ha ocurrido A, P(r/A), es la
probabilidad de r ∩ A relativa a la probabilidad de A, así
que se define
y nos permite calcular la
probabilidad del recorrido A - r en el diagrama de árbol: P(r
∩ A) = P(A) · P(r/A) = 0,5 ·
0,375 = 0,1875
De la tabla obtenemos todas las
probabilidades condicionadas
P(r/A) =
P(r
∩ A)P(A)
→ P(r
∩ A) = P(A)·P(r/A) |
P(r/B) =
P(r
∩ A)P(A)
→ P(r
∩ B) = P(B)·P(r/B) |
P(v/A) =
P(v
∩ A)P(A)
→ P(v
∩ A) = P(A)·P(v/A) |
P(v/B) =
P(v
∩ B)P(B)
→ P(v
∩ B) = P(B)·P(v/B) |
P(a/A) =
P(a
∩ A)P(A)
→ P(a
∩ A) = P(A)·P(a/A) |
P(a/B) =
P(a
∩ B)P(B)
→ P(a
∩ B) = P(B)·P(a/B) |
- PROBABILIDAD TOTAL
- Tenemos un sistema completo
de sucesos {A, B}, A="sacar una bola de la urna A" y
B="sacar una bola de la urna B", tal que P(A)≠0 y P(B)≠0 y
sea r el suceso "sacar una bola roja" para el que se
conoce las probabilidades condicionadas P(r/A) y P(r/B)
entonces la probabilidad del suceso r viene dada por la
siguiente expresión: P(r) = P(r ∩ A) + P(r
∩ B) = P(A)·P(r/A) + P(B)·P(r/B)
que constituye el teorema de la probabilidad total
para ejemplo particular
- Análogamente
obtenemos la probabilidad total del suceso v ="sacar una
bola verde", P(v) = P(A)·P(v/A) + P(B)·P(v/B)
y la probabilidad del suceso a="sacar una bola
azul", P(a) = P(A)·P(a/A) + P(B)·P(a/B)
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