CONCEPTOS APLICADOS

INTRODUCCIÓN

Disponemos de un conjunto de bolas de tres colores rojo, verde y azul, que están distribuidas con distinta proporción en dos urnas A y B. Admintimos que todas las bolas representan puntos equiprobables del mismo espacio muestral E=A U B, A y B incompatibles A ∩ B = ∅ (intersección vacía)

Se trata de un experimento compuesto, ya que primero hay que elegir aleatoriamente una urna con la misma probabilidad P(A)=P(B)=0.5 y a continuación elegir aleatoriamente una bola de esa urna.

El problema que se nos plantea es el de tener que determinar la probabilidad de que la bola extraida sea de un determinado color, p.e. rojo y que escribiremos así P(r). Pero la probabilidad de sacar determinado color depende de la elección de la urna. Decimos que la probabilidad de sacar una bola de determinado color está condicionada al resultado de la elección de urna. La probabilidad condicionada de sacar color rojo supuesto que se eligió la urna A se escribe  P(r/A) y análogamente P(r/B) es la probabilidad condicionada de sacar color rojo  supuesto que se eligió la urna B.

A los efectos de hacer fácilmente un recuento de los disntintos resultados del experimento nos valemos de tablas de contingencia y de diagramas de árbol. Vemos como serían estos esquemas para el experimento que nos ocupa



A
B
Totales
r
3 4 7
v
3 2 5
a
2 3 5
Totales
8
9
17


Diagrama de conjuntos  Tabla de contingencia Diagrama de árbol

Por tanto el suceso que consiste en  sacar un color determinado, p.e. rojo, es la unión de dos sucesos

r= (A y r) U (B y r) = (A ∩ r) U (B ∩ r)

Dado que (A ∩ r) y (B ∩ r) son sucesos incompatibles,  la probabilidad de la unión es la suma de las probabilidades de cada suceso

P(r) = P(A ∩ r) + P(B ∩ r)

En nuestro experimento, esta expresión se denomina probabilidad total de sacar color rojo y trataremos que justificar como se calcula. En el diagrama de árbol hay que fijarse en los distintos recorridos que hay que hacer hasta obtener el resultado esperado, calcular la probabilidad que tiene cada recorrido y sumarlas. Así para calcular la probabilidad de r, obtenemos dos recorrridos A - r con probabilidad P(A ∩ r) y B - r con probabilidad P(B ∩ r)

CONCEPTOS

  • PROBABILIDAD CONDICIONADA
    • En la tabla de contingencia anterior observamos que para calcular p.e P(r/A) hemos reducido el espacio muestral al conjunto A:   P(r/A) =
      38
Tabla de probabilidades
Urna A
Urna B
Totales
Bolas rojas
P(r ∩ A) P(r ∩ B) P(r)
Bolas verdes
P(v ∩ A) P(v ∩ B) P(v)
Bolar azules
 P(a ∩ A) P(a ∩ B) P(a)
Totales
P(A)
P(B)
1
    • La probabilidad condicionada de r supuesto que ha ocurrido  A, P(r/A),  es la probabilidad de r ∩ A relativa a la probabilidad de A, así que se define
P(r/A)=
P(r ∩ A) / P(A)
y nos permite calcular la probabilidad del recorrido A - r en el diagrama de árbol: P(r ∩ A) = P(A) · P(r/A) = 0,5 · 0,375 = 0,1875
De la tabla obtenemos todas las probabilidades condicionadas

  P(r/A) =
P(r ∩ A)P(A)
  P(r ∩ A) = P(A)·P(r/A)
  P(r/B) =
P(r ∩ A)P(A)
  P(r ∩ B) = P(B)·P(r/B)
  P(v/A) =
P(v ∩ A)P(A)
  P(v ∩ A) = P(A)·P(v/A)
P(v/B) =
P(v ∩ B)P(B)
  P(v ∩ B) = P(B)·P(v/B)
  P(a/A) =
P(a ∩ A)P(A)
  P(a ∩ A) = P(A)·P(a/A)
  P(a/B) =
P(a ∩ B)P(B)
  P(a ∩ B) = P(B)·P(a/B)
  • PROBABILIDAD TOTAL
    • Tenemos un sistema completo de sucesos {A, B}, A="sacar una bola de la urna A" y B="sacar una bola de la urna B", tal que P(A)≠0 y P(B)≠0 y sea r el suceso "sacar una bola roja" para el que se conoce las probabilidades condicionadas P(r/A) y P(r/B) entonces la probabilidad del suceso r viene dada por la siguiente expresión: P(r) = P(r ∩ A) + P(r ∩ B) = P(A)·P(r/A) + P(B)·P(r/B) que constituye el teorema de la probabilidad total para ejemplo particular
    • Análogamente obtenemos la probabilidad total del suceso v ="sacar una bola verde", P(v) = P(A)·P(v/A) + P(B)·P(v/B) y la probabilidad del suceso a="sacar una bola azul",  P(a) =  P(A)·P(a/A) + P(B)·P(a/B)