INTRODUCCIÓN

En la miscelánea "El rectángulo de Newton como «simétrico» del triángulo de Pascal" se muestra cómo, si se parte del triángulo de Pascal en la orientación aportada por Pascal, entonces el rectángulo de Newton se obtiene por una mera "simetría" y un cambio de signo en las columnas impares.

La alternativa que abordó Newton la presentamos en la miscelánea "Extensión del triángulo de Pascal: el paralelogramo de Newton" y las congruencias en los coeficientes binomiales según este patrón las obteníamos en "Congruencias en el paralelogramo de Newton" y un muestrario de las mismas en "Muestrario de congruencias en el paralelogramo de Newton".

En esta miscelánea se muestra cómo si conocemos las congruencias con cero de los coeficientes en el Triángulo de Pascal, entonces por simetría tenemos las correspondientes al rectángulo de Newton, tal y  como lo observamos en la siguiente imagen:

Esa simetría no acontece para congruencias con resto no nulo y módulo superior a dos, dado que en las columnas impares hay un cambio de signo en los valores de los coeficientes.

OBJETIVOS

Conocer y ver las regularidades geométricas que acontecen en el rectángulo de Newton y su simetría con las del triángulo de Pascal, cuando éste se organiza según la posición original usada por Pascal.

INSTRUCCIONES

Al iniciar la escena, en la parte superior central, se muestra la extensión que realizó Newton y en la parte inferior el triángulo de Pascal en la orientación original dada por él. Se reflejan, respectivamente, los cuarenta primeros coeficientes binomiales (numeración de columnas de 0 a 39, en color azul) correspondientes al desarrollo de (a+x)^-n y (a-x)^-n con n tomando valores en ambos casos entre 1 y 19 (numeración de filas).

Hay que indicar que a medida que aumenta el número de filas y columnas la representación de este paralelogramo numérico entraña cierta dificultad para su visualización global. No obstante, en la escena se puede modificar la escala para que cada coeficiente pueda, en caso extremo, corresponderse con un píxel. Paralelamente, ese incremento en el número de coeficientes representado conlleva un aumento sustancial en las necesidades de cálculo. Por ello, por defecto, la representación se ha limitado a un máximo de 200 filas y 500 columnas (obviamente dichas limitaciones pueden modificarse editando la escena).
El cálculo de estas congruencias no necesitan la determinación previa de los coeficientes binomiales sino la traslación de las propiedades recursivas existentes entre estos coeficientes. Esto permite salvar las limitaciones que entraña el cálculo de estos números enteros que superan rápidamente el número designado como MAX_SAFE_INTEGER y que en javascript es 2⁵³-1 (superior a 9 mil billones). Por tanto Así pues, no se introduce ninguna limitación adicional a las previamente indicadas.

En la parte superior de la escena pueden observarse diferentes controles cuya funcionalidad es la siguiente:

• Selector de inclinación: Es una barra de desplazamiento con la que puede modificarse la inclinación del paralelogramo. Por defecto se representa como un rectángulo.
• Escala: Permite modificar la escala a la que se representa el rectángulo de Newton.
• Selección rectángulo o triángulo: mediante este menú puede seleccionarse la representación del rectángulo de Newton o el triángulo de Pascal.
• Filas: Número de filas correspondientes a cada familia de coeficientes binomiales a representar en la zona del triángulo de Pascal y en la de la extensión de Newton. Cada fila queda etiquetada con el exponente de la potencia binomial (a±x)^-n a la que corresponden los coeficientes de esa fila. En la escena el rango se ha restringido desde -199 a 199.
• Columnas: Número de columnas correspondientes a cada familia de coeficientes binomiales a representar. Por ejemplo, para 10 columnas se representan los números combinatorios de índice inferior desde 0 a 9. En la escena el rango se ha restringido a un máximo de 400 columnas.
• Divisor y resto: En la gráfica se reflejará con fondo color naranja todos los coeficientes binomiales que sean congruentes con el resto indicado y con módulo el del divisor seleccionado. Por defecto se asigna el valor de 2 al divisor y 0 al resto, pero pueden cambiarse. Mediante esta coloración pueden observarse pautas geométricas de cómo se distribuyen estos coeficientes, lo cual es el objetivo de esta miscelánea.