INTRODUCCIÓN

En esta miscelánea aplicamos el teorema de Bayes. Para poder entender y en consecuencia aplicar correctamente este importante teorema de la teoría de Probabilidades es necesario conocer lo que entendemos por probabilidad condicionada y qué es la probabilidad total de un suceso aleatorio. Para ello remitimos al lector a los Conceptos aplicados  incluidos en la miscelánea del mismo autor publicada en la web Red Descartes y titulada Ejercicios de probabilidad total

Consideremos el espacio muestral S cuyos elementos son bolas de tres colores diferentes, rojo, verde y azul que se eligen aleatoriamente, son sucesos elementales equiprobables.

Figura 1

La descripción del experimento dice que estas bolas están distribuidas en urnas A1, A2 y A3 y conocemos el número de ellas en cada urna. Esto equivale a decir que hemos realizado una partición del espacio S en tres subconjuntos disjuntos dos a dos, tal que A1 U A2 U A3 = S y A1 ∩ A2=∅, A1∩A3=∅, A2∩A3=∅. Es decir {A1, A2, A3} es un sistema completo de sucesos. Conocemos "a priori" las probabilidades de A1, A2 y A3 que llamaremos causas y las probabilidades de extraer un determinado color para cada causa producida, que son probabilidades condicionadas o verosimilitudes, P(r/A1), P(v/A1), P(a/A1), P(r/A2), P(v/A2), P(a/A2), P(r/A3), P(v/A3), P(a/A3) Sea, p.e., v el suceso de este sistema que consiste en "extraer una bola de color verde", como se muestra en la Figura 1. La probabilidad de v depende de tres causas y ya conocemos que se trata de la probabilidad total P(v) que calculamos así: P(v) = P(A1)·P(v/A1) + P(A2)·P(v/A2) + P(A3)·P(v/A3) La figura 2, de la derecha, es el diagrama en árbol del suceso compuesto consistente en elegir al azar una urna y a continuación una bola de la misma. La probabilidad del suceso v se calcula sumando las probabilidades de cada rama del árbol que conduce al resultado "bola verde":  P(v) = (1/3)(2/8) + (1/3)(4/10) + (1/3)(3/7) = 0,359

Figura 2

Es interesante preguntar cual sería la probabilidad de que habiendo sucedido v "bola verde" en una prueba del experimento, ésta proceda de una urna determinada p.e. la A₁. Esta probabilidad sería P(A₁/v), es decir, la probabilidad de que la causa de la extracción de bola verde sea A₁ y que se denomina probabilidad a posteriori de A₁ o probabilidad que resulta de revisar una probabilidad a priori, inicial o de partida, en función de la información deducida de nuevas pruebas del experimento. El teorema de Bayes es un método que nos permite calcularla.

El teorema de Bayes parte de una situación en la que es posible conocer las probabilidades "a priori" de que ocurran una serie de sucesos A_i.  A esta se añade un suceso v cuya ocurrencia proporciona cierta información, porque las probabilidades de ocurrencia de v (verosimilitudes) son distintas según el suceso A_i que haya ocurrido.

Conociendo que ha ocurrido el suceso v, la fórmula del teorema de Bayes nos indica como modifica esta información las probabilidades de los sucesos A_i

P(A_i/v)=

P(A_i)·P(v/A_i) / P(v)

       (1)

Esta relación entre P(A_i/v) y P(v/A_i) es muy fácil de demostrar.

Según la definición de probabilidad condicionada

 P(A_i/v)=

P(A_i ∩ v) / P(v)

   ⇒  P(A_i ∩ v)  = P(v)·P(A_i/v)           (2)

P(v/A_i)=

P(v ∩ A_i) P(A_i)

   ⇒  P(v ∩ A_i)  = P(A_i)·P(v/A_i)          (3)

Como la intersección de sucesos es conmutativa, se cumple que  P(A_i ∩ v) = P(v ∩ A_i) y podemos igualar los segundos miembros de (2) y (3), resultando que

P(v)·P(A_i/v) = P(A_i)·P(v/A_i)

y de aquí, despejando P(A_i/v), se obtiene la expresión (1)

EJEMPLO

Supongamos el experimento presentado en la introducción. Realizamos una prueba y obtenemos una bola verde. Se pide:

1. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido extraida de la urna A1?
2. ¿De las tres urnas A₁, A₂, A₃ cual de ellas tiene mayor probabilidad a posteriori, si la bola obtenida es verde?

SOLUCIÓN:

1. 2.

Aplicando el teorema de Bayes (1) para A1 teniendo en cuenta las probabilidades observadas en cada camino del diagrama de árbol, obtenemos  P(A1/v)= P(A1 ∩ v) P(v) = (1/3)(2/8) (1/3)(2/8) + (1/3)(4/10) + (1/3)(3/7) =  0,083 0,083+0,133+0,143 =   0,083 0,359 = 0,231 que resulta ser menor que la probabilidad a priori P(A1)=0,333 Se trata de comparar los tres resultados P(A1/v), P(A2/v) y P(A3/v)  P(A2/v)= P(A2 ∩ v) P(v) = (1/3)(4/10) (1/3)(2/8) + (1/3)(4/10) + (1/3)(3/7) =  0,133 0,083+0,133+0,143 =   0,133 0,359 = 0,370  P(A3/v)= P(A3 ∩ v) P(v) = (1/3)(3/7) (1/3)(2/8) + (1/3)(4/10) + (1/3)(3/7) =  0,143 0,083+0,133+0,143 =   0,143 0,359 = 0,398 La urna A3 tiene mayor probabilidad a posteriori supuesto que se obtuvo una bola verde