INDICACIONES

INTRODUCCIÓN

En esta miscelánea se analiza la partición o descomposición de un prisma triangular en tres pirámides triangulares equivalentes.

OBJETIVOS

  1. Analizar cómo se puede descomponer un prisma triangular en pirámides triangulares.
  2. Comprobar las diferentes situaciones que se dan al buscar que el número de pirámides sea tres que es el cardinal mínimo de la partición.
  3. Detectar los diferentes tipos de pirámides que se pueden obtener.
  4. Comprobar las relaciones de congruencia o de semejanza entre las pirámides que componen la partición.
  5. Obtener los desarrollos planos de todas las pirámides de la partición.
  6. Aportar los desarrollos planos en un documento imprimible para poder reproducir la situación en un contexto manipulativo.
  7. Comparar las diferentes particiones obtenidas.
  8. Verificar que hay sólo dos posibilidades al realizar la partición. Una con congruencia y otra con equivalencia.
  9. Mostrar un modelo elaborado en papel que resume lo analizado y concluído.

INSTRUCCIONES

La escena se inicia con una imagen mostrando el objetivo y aporta al usuario un menú con varias opciones en el que se invita e indica "Selecciona opción...":

  • Partición del prisma en pirámides triangulares equivalentes. Se muestra inicialmente un prisma triangular de bases dos triángulos rectángulos isósceles y el usuario dispone de los siguientes elementos para interactuar:
    • Dos controles en el lateral izquierdo. Desplazándolos puede separar las pirámides que componen dicho prisma.
    • Un pulsador y dos botones:
      • "Pulsador" con el que se pueden observar las seis formas posibles de partir el prisma. Para cada una de ellas se muestran los vértices que componen cada pirámide y se indican los cuatro tipos que se detectan. Estos se etiquetan como X1, X2, Y y Z. Todas son pirámides equivalentes (igual volumen) y las dos primeras son congruentes (coincidentes mediante isometrías).
      • "Ver longitudes"/"Ocultar longitudes" con el que se etiquetan las aristas del prisma y de las pirámides indicando la medida de cada una, permitiendo comparar y determinar la relación existente entre las pirámides obtenidas.
      • "Ver detalle de corte"/"Ocultar detalle corte" que muestra las caras que comparten las pirámides en la partición.
    • Como funcionalidad básica de Descartes siempre se puede:
      • Girar las figuras tridimensionales pulsando el botón izquierdo del ratón y desplazando éste, o usando los dedos en dispositivos táctiles. O en caso de objetos bidimensionales desplazarlos de igual forma salvo que el programador lo haya limitado.
      • Ampliar, hacer zum, pulsando el botón derecho del ratón y desplazándolo hacia arriba o hacia abajo.
  • Animación de los desarrollos de las pirámides de la partición. Se se refleja una imagen con los cuatro tipos de pirámides posibles y se oferta un submenú en el que se invita a seleccionar uno de los tipos: "Pirámides triangulares tipo X", "Pirámide triangular tipo Y" y "Pirámide triangular tipo Z".
    Al elegir una de las opciones o pulsando sobre la imagen de cada pirámide se muestra ésta. Se tienen dos botones:
    • "Ver desarrollo"/"Ocultar desarrollo" que activa la animación.
    • "Ver pirámide" que aparece cuando está visible el desarrollo y permite visualizarlo junto a la pirámide.
    En el caso de las pirámides tipo X se cuenta con dos controles en la parte inferior que permite juntar o separar dichas pirámides y así poder observar la simetría entre ellas (son pirámides congruentes).
  • Desarrollos planos de las pirámides de la partición. De manera análoga a la opción anterior se tiene un submenú y cuatro imágenes que permiten seleccionar el tipo de pirámide y acceder al desarrollo plano del mismo.Seleccionada una, se muestra el desarrollo correspondiente permitiéndose modificar la escala y elegir entre el color distintivo del tipo de pirámide o bien el blanco. El botón "Ver pestañas/Ocultar pestañas" muestra u oculta las mismas, y el icono de la impresora permite proceder a su impresión. El usuario así puede montar el prisma, de una manera tangible, según el esquema de la partición que se analiza en las siguientes opciones.
  • Partición del prisma en pirámides triangulares por tipo de pirámide. Se muestran las particiones observadas en la primera opción de menú, pero reflejando el tipo de pirámide con el código de colores antes establecido (verde para X2, azul para X1, rojo para tipo Y y blamco para tipo Z). Se cuenta con un pulsador para cambiar la partición y dos controles en el lateral izquierdo.
  • Comparación de las particiones. Se reflejan las seis particiones obtenidas I, II, III, IV, V, y VI) y por cada una de ellas se cuenta con dos controles laterales y tres botones en la parte inferior. Estos permiten efectuar giros y simetrías especulares, es decir, transformaciones isométricas, de manera que pueden observarse congruencias entre las mismas.
    Trabajando con la escena se concluirá que realmente hay sólo dos tipos de particiones del prisma: I y IV por un lado y el resto por otro. Todas las particiones de un tipo son congruentes entre sí.
  • Partición con pirámides congruentes y partición con pirámides equivalentes. A partir de los dos tipos de particiones del prisma obtenidas en el punto anterior, comparando las pirámides que las componen se obtiene como conclusión que el prisma considerado admite sólo dos tipos de particiones. Una en la que las tres pirámides son congruentes entre sí, y otra en la que las tres pirámides son solamente equivalentes. Ambas particiones se muestran en esta opción.
  • Fotografías de la reproducción en papel. Con las flechas inferiores se puede navegar por varias fotos que muestran la reproducción en papel de la partición del prisma. La primera muestra las seis particiones posibles distinguiendo base superior e inferior, en la segunda la partición en pirámides congruentes y la tercera en pirámides equivalentes.

CONCLUSIONES

Todo prisma triangular recto con bases dos triángulos rectángulos isósceles se puede descomponer, con cardinal de la partición mínimo, en tres pirámides triangulares equivalentes. Sólamente hay dos formas de realizarlo, salvo isometrías. En una de ellas se verifica que las pirámides no sólo son equivalentes sino que también son congruentes entre sí.