INTRODUCCIÓN

La matriz de Rodrigues permite calcular las componentes del vector resultante de girar un vector alrededor de otro. Es un procedimiento sencillo y útil en la manipulación de cualquier objeto que deseemos rotar. La deducción de la expresión de esta matriz puede consultarse en este artículo.
El trabajo de Rodrigues ha quedado algo oculto y desde esta miscelánea se desea mostrar la utilidad de esta matriz de rotación. Para ello, nos planteamos abordar el desarrollo plano, animado, de un poliedro y, en particular, realizarlo con el icosaedro.

OBJETIVOS

1. Conocer la matriz de rotación de Rodrigues y su utilidad en el giro de objetos tridimensionales.
2. Mostrar cómo puede obtenerse el desarrollo plano de cualquier poliedro aplicando la rotación de Rodrigues.
3. Aplicar la rotación de Rodrigues para rotar un vector alrededor de otro.
4. Automatizar el proceso de rotación de la cara de un poliedro para que ésta coincida con el plano determinado por otra cara.
5. Encadenar desarrollos de caras adyacentes para obtener el desarrollo plano de un poliedro

INSTRUCCIONES

La escena interactiva comprende un conjunto de otras siete escenas en las que se plantea, en diferentes fases, la consecución del objetivo final y principal que es obtener el desarrollo plano de un poliedro aplicando la matriz de rotación de Rodrigues.
En la parte superior se cuenta con un menú que permite seleccionar cada una de las fases indicadas y que se describen a continuación:

1. Giro de un vector alrededor de otro mediante la matriz de rotación de Rodrigues.
   En la primera escena se refleja la forma de obtener la matriz de Rodrigues que permite calcular las componentes del vector resultante de girar un vector dado v, alrededor de otro vector unitario k, un ángulo θ.
   Se dispone de diferentes controles para definir el vector w que determina la dirección del eje de giro, calculándose automáticamente el vector unitario k, el vector v que se desea girar y el ángulo de giro. Al variar dicho ángulo se deja un rastro para cada uno de los vectores girados, pero puede borrarse con el botón de "limpiar". En la parte central se muestra el movimiento y en la inferior a matriz de Rodrigues utilizada.
   También se dispone de un botón que permite dibujar u ocultar la base vectorial de referencia.
2. Giro de un punto alrededor de un eje.
   En la segunda escena se plantea el problema de girar un punto P alrededor del eje determinado por dos puntos A y B. Las coordenadas de esos puntos pueden introducirse mediante los controles ubicados en la parte superior.
   En la parte central se refleja la conversión de este problema geométrico al problema vectorial analizado en la escena anterior. Se plantea el giro del vector AP alrededor del vector AB normalizado.
   Al cambiar el valor del ángulo se dibuja tanto el punto girado como el giro del vector asociado.
3. Giro manual de un triángulo alrededor de un lado.
   La tercera escena muestra el giro de triángulo PAB alrededor de su lado AB. En este caso los puntos A y B son invariantes y, por tanto, basta girar el punto P según lo realizado en la escena anterior. La imagen del triángulo girado se obtiene sin más que trazar los segmentos PA y PB.
4. Desarrollo plano de dos caras (manual).
   La cuarta escena muestra el desarrollo plano de dos caras, es decir, se busca girar una de ellas alrededor del lado común (que es la situación analizada en la escena anterior) hasta que forme parte del plano determinado por la otra cara. En la escena la cara APB es la que gira alrededor del lado común AB.
   Para determinar el ángulo que ha de girarse, se calcula el vector normal exterior n₁ a la cara orientada APB (APxAB) y el normal exterior n₂ a la cara orientada ABQ (ABxAQ). En la imagen las caras exteriores están coloreadas en naranja y las interiores en rosa. En la parte inferior derecha se indica el valor del ángulo interior que se calcula y al lado del control θ se especifica el ángulo que ha de girare manualmente para obtener el desarrollo plano deseado.
5. Desarrollo plano de dos caras (automático).
   La escena quinta refleja la misma situación que el caso anterior, pero en este caso el desarrollo se realiza de manera automática sin más que pulsar el botón de "animar".
6. Desarrollo plano de un triedro.
   La escena sexta combina el desarrollo plano planteado en las escenas cuarta y quinta para abordar el desarrollo plano de tres caras concurrentes en un vértice. Este desarollo se aborda en dos fases, primero de rota una hasta tenerla desarollada con la adyacente y después se rotan conjuntamente las dos anteriores hasta obtener el desarrollo final.
7. Desarrollo plano de un icosaedro.
   En la escena final se aborda el desarrollo de un icosaedro regular el cual se consigue sin más que aplicar en diferentes fases la rotación detallada en las escenas anteriores y cuya base y fundamento único se ubica en la matriz de rotación de Rodrigues.