¡ FELIZ 2025 !

NÚMEROS

Soluciones de las actividades

 

Actividad 1

Los tres años anteriores fueron 510, 1015 y 1520. El año 2025 es el cuarto año en la historia con esta propiedad.

Los cinco años siguientes serán 2530, 3035, 3540, 4045 y 4550.

Si se resta cualquier pareja de años consecutivos, se obtiene que esta propiedad se repite cada 505 años.

 

Actividad 2

Si la suma de sus cifras tiene que ser 9, los números que se buscan deben ser múltiplos de 9, pero no todos los múltiplos de 9 son solución.

Los cinco años anteriores fueron 1701, 1710, 1800, 2007 y 2016.

Los cinco años siguientes serán 2034, 2043, 2052, 2061 y 2070.

Aunque no es necesario, en la siguiente escena, con paciencia, se pueden localizar.

Cociente del número entre 9

 

Actividad 3

Existen tres grupos de cuatro números cuya suma de cuadrados es igual a 33. Son los siguientes:

0,1,4,4  →  02+12+42+42 = 0+1+16+16 = 33

0,2,2,5  →  02+22+22+52 = 0+4+4+25 = 33

2,2,3,4  →  22+22+32+42 = 4+4+9+16 = 33

Con cada uno de ellos se pueden formar doce números distintos. Para resolver la actividad se pueden calcular todos y ordenarlos.

Los cinco años anteriores fueron 441, 522, 1044, 1404 y 1440.

Los cinco años siguientes serán 2052, 2205, 2234, 2243 y 2250.

Aunque no es necesario, en la siguiente escena, con paciencia, se pueden localizar.

Número

 

Actividad 4

Los cinco años anteriores, cuadrados perfectos, fueron 402=1600, 412=1681, 422=1764 y 432=1849 y 442=1936.

Los cinco años siguientes, cuadrados perfectos, serán 462=2116, 472=2209, 482=2304 y 492=2401 y 502=2500.

El año anterior, cubo perfecto, fue 123=1728.

El año siguiente, cubo perfecto, será 133=2197.

 

Actividad 5

Esta actividad requiere de ayuda tecnológica para poderla resolver. Como el número debe ser un cuadrado perfecto podemos restringir la búsqueda a este tipo de números. Con la siguiente escena se pueden encontrar los números que verifican esta condición.

El año anterior fue el año 1=0001.

Los dos años siguientes serán 3025 y 9801.

Raíz cuadrada del número

 

Actividad 6

Se buscan cuatro números consecutivos que se pueden representar como "n, n+1, n+2 y n+3". Al realizar las operaciones se obtiene el cuadrado de un número, el cuadrado menos una unidad y el cuadrado menos cuatro unidades.

(n+n+3)(n+1+n+2) = (2n+3)(2n+3) = 4n2+12n+9 = (2n+3)2

(n+n+2)(n+1+n+3) = (2n+2)(2n+4) = 4n2+12n+8 = (2n+3)2-1

(n+n+1)(n+2+n+3) = (2n+1)(2n+5) = 4n2+12n+5 = (2n+3)2-4

Por tanto, esta propiedad se verifica para cuatro números consecutivos cualesquiera.

   Los cinco años anteriores con una propiedad similar fueron:

16, 17, 18 y 19  →  (16+19)(17+18) = 35·35 = 352 = 1225

17, 18, 19 y 20  →  (17+20)(18+19) = 37·37 = 372 = 1369

18, 19, 20 y 21  →  (18+21)(19+20) = 39·39 = 392 = 1521

19, 20, 21 y 22  →  (19+22)(20+21) = 41·41 = 412 = 1681

20, 21, 22 y 23  →  (20+23)(21+22) = 43·43 = 432 = 1849

   Los cinco años siguientes con una propiedad similar serán:

22, 23, 24 y 25  →  (22+25)(23+24) = 47·47 = 472 = 2209

23, 24, 25 y 26  →  (23+26)(24+25) = 49·49 = 492 = 2401

24, 25, 26 y 27  →  (24+27)(25+26) = 51·51 = 512 = 2601

25, 26, 27 y 28  →  (25+28)(26+27) = 53·53 = 532 = 2809

26, 27, 28 y 29  →  (26+29)(27+28) = 55·55 = 552 = 3025

Esta propiedad la verifican los cuadrados de los números impares.

Con la siguiente escena se pueden calcular todos, siendo el número menor mayor o igual que 1. ¿Qué sucede si el número menor es 0? ¿Qué sucede con números negativos?.

Numero menor

 

Actividad 7

dd+mm=aa  →   24/01, 23/02, 22/03, 21/04, 20/05, 19/06, 18/07, 17/08, 16/09, 15/10, 14/11 y 13/12.

dd·mm=aa  →   25/01 y 05/05.

dd·mm·aa=2025  →   27/03/25 y 09/09/25.

 

Actividad 8

Los números que indiquen la hora, los minutos y los segundos tienen que ser divisores de 2025.

Las posibilidades para las horas son 01, 03, 05, 09 y 15.

Las posibilidades para los minutos y los segundos son 01, 03, 05, 09, 15, 25, 27 y 45.

Los instantes de cada día que verifican "hh·mm·ss=2025" son:

01:45:45     03:15:45     03:25:27     03:27:25     03:45:15     05:09:45     05:15:27     05:27:15     05:45:09     09:05:45

09:09:25     09:15:15     09:25:09     09:45:05     15:03:45     15:05:27     15:09:15     15:15:09     15:27:05     15:45:03

Estos veinte instantes de cada uno de los dos días del tercer apartado de la actividad anterior, forman cuarenta momentos muy interesantes matemáticamente del año 2025.

La siguiente escena puede servir de ayuda para calcularlos todos.

Segundos
Minutos
Hora

 

Actividad 9

Un año no bisiesto tiene 365 días, lo que supone 52 semanas completas y un día. Esto significa que cada año empieza y acaba en el mismo día de la semana. Si el año es bisiesto tiene 52 semanas y 2 días, es decir, el año acaba al día siguiente de la semana del que empezó.

El año anterior que empezó y acabó en miércoles fue 2014.

El año siguiente que empezará y terminará en miércoles será 2031.

 

Números divisibles por la suma de sus cifras

Con la siguiente escena se puede comprobar los números que son divisibles por la sumas de sus cifras, conocidos como números que transmiten alegría o números de Harshad.

Cociente del número entre 9

  Autor: Luis Barrios Calmaestra
Proyecto Descartes. Año 2025
 

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