INTRODUCCIÓN

En esta miscelánea se analiza la partición o descomposición de un cubo en seis pirámides congruentes. Dos figuras son congruentes si mediante una composición de isometrías (traslación, giro y/o simetría) coinciden.

OBJETIVOS

1. Analizar cómo se puede descomponer un cubo en seis pirámides triangulares congruentes.
   
2. Verificar que tres pirámides son iguales y las otras tres son simétricas de éstas.
3. Determinar un desarrollo plano de los dos tipos de piramides que aparecen en esta partición.
4. Aportar los desarrollos planos de los dos tipos de pirámides triangulares anteriores en documentos imprimibles y así poder reproducir la situación en un contexto manipulativo.
5. Mostrar un modelo elaborado a partir del desarrollo anterior.

INSTRUCCIONES

La escena se inicia con una imagen mostrando el objetivo y aporta al usuario un menú con varias opciones en el que se invita e indica "Selecciona opción...":

• Partición o desarrollo del cubo. Se muestra inicialmente un cubo de color amarillo y el usuario dispone de los siguientes elementos para interactuar:
  • Seis controles, dos en el lateral izquierdo, dos en el derecho y dos abajo, representados con sendos círculos verdes y rojos. Desplazándolos puede separar las pirámides que componen dicho cubo.
  • Cuatro botones y una barra de "scroll":
  • "Desmontar cubo"/"Montar cubo" que permite activar una animación en la que se muestra la descomposición del cubo, o viceversa. Al pulsarlos se desactiva la barra de "scroll" manual hasta que finaliza la animación.
    Al realizar el desmontaje puede observarse, y se indica así en la escena, que la partición obtenida se corresponde con la partición del cubo en tres pirámides cuadradas y dividiendo éstas en dos se obtienen las seis pirámides triangulares. Puede consultarse el recurso "Descomposición de un cubo en tres pirámides cuadradas iguales" .
  • La barra de "scroll" permite realizar manualmente el desmontaje o montaje del cubo. Al usarla se desactivan los botones de montaje automático y se vuelven a activar una vez que el cubo haya sido montado o desmontado completamente con la barra, es decir, cuando esté en una de las posiciones extremas.
  • "Ver vértices"/"Ocultar vértices" con el que se etiquetan los vértices del cubo y los de las pirámides que lo componen.
  • "Ver longitudes"/"Ocultar longitudes" con el que se etiquetan las aristas del cubo y de las pirámides indicando la medida de cada una, permitiendo comparar y determinar que tres pirámides son iguales y las otras tres son sus simétricas.
  • "Ver detalle de corte"/"Ocultar detalle corte" que muestra las caras que comparten las pirámides en la partición.
    Es de notar que esta partición es posible realizarla desde el punto de vista físico, es decir, si se parte de un cubo macizo y se aborda un corte con cuchillo --lo equivalente a un corte por un plano en el que cada vez que se corta una pieza ésta queda divida en dos partes independientes-- se obtienen las seis pirámides indicadas. Obviamente lo contrario también es posible, es decir, dadas las pirámides se monta el cubo o montado el cubo en base a las pirámides se puede desmontar.
  • Como funcionalidad básica de Descartes siempre se puede:
    • Girar las figuras tridimensionales pulsando el botón izquierdo del ratón y desplazando éste, o usando los dedos en dispositivos táctiles. O en caso de objetos bidimensionales desplazarlos de igual forma salvo que el programador lo haya limitado.
    • Ampliar, hacer zum, pulsando el botón derecho del ratón y desplazándolo hacia arriba o hacia abajo.
• Animación del desarrollo de una de las pirámides triangulares y su simétrica. En esta opción partiendo de una de las pirámides cuadradas que conforma la partición, compuesta por dos pirámides triangulares simétricas, se obtiene un desarrollo plano de las mismas. Hay dos botones:
  • "Desarrollar"/"Plegar" que activa la animación.
  • "Ver pirámide" que cuando está visible el desarrollo permite visualizarlo junto a la pirámide.
  Se observa que los dos desarrollos planos obtenidos son simétricos uno del otro. Así pues, bastaría tener uno de los dos desarrollos y plegándolo en un sentido se obtiene una pirámide y plegándolo en el otro la pirámide simétrica. Aquí consideraremos los dos desarrollos planos que denominaremos tipo 1 y tipo 2.
• Desarrollo plano de la pirámide triangular tipo 1. Se muestra el desarrollo plano como objeto bidimensional y con el botón "Ver pestañas"/"Ocultar pestañas" muestra éstas. El botón "Abrir pdf" abre un pdf y permite, dependiendo del navegador y el lector de pdf que tenga incorporado el usuario, descargarlo y/o imprimirlo con objeto de poder montar dicha partición de manera tangible.
• Desarrollo plano de la pirámide triangular tipo 2. Con análoga funcionalidad que el punto anterior.
• Fotos de la reproducción en papel. Con las flechas inferiores se puede navegar por algunas fotos que muestran los elementos de la partición y el montaje del cubo en una reproducción realizada con papel.