INTRODUCCIÓN
En esta miscelánea se analiza la partición o descomposición de un cubo en pirámides de base cuadrada en un análisis global.
OBJETIVOS
- Analizar cómo se puede descomponer un cubo en pirámides de base cuadrada.
- Comprobar las diferentes situaciones que se dan al buscar que el numero de pirámides sea mínimo.
- Detectar cuando la partición consta de tres, cuatro, cinco o seis pirámides.
- Comprobar las situaciones de regularidad, de congruencia o de semejanza entre las pirámides que componen la partición.
- Obtener los desarrollos planos de todas las pirámides de la partición.
- Aportar los desarrollo plano en un documento imprimible para poder reproducir la situación en un contexto manipulativo.
- Mostrar un modelo elaborado a partir del desarrollo anterior.
INSTRUCCIONES
La escena se inicia con una imagen mostrando el objetivo y aporta al usuario un menú con varias opciones en el que se invita e indica "Selecciona opción...":
- Partición o desarrollo del cubo. Se muestra inicialmente un cubo de color amarillo y el usuario dispone de los siguientes elementos para interactuar:
- Tres controles tipo pulsador etiquetados con Mx, My, Mz que representan las coordenadas de un punto M que podemos posicionar en el interior y en la frontera del cubo. Éste viene definido por el producto cartesiano [-0.5, 0.5]x[-0.5, 0.5]x[-0.5, 0.5] y consecuentemente -0,5 ≤ Mx, My, Mz ≤ 0.5.
- Seis controles, dos en el lateral izquierdo, dos abajo y dos en el lateral derecho, representados por sendos círculos verdes y rojos. Desplazándolos puede separar las pirámides que componen dicho cubo en las tres direcciones espaciales.
- Cuatro botones y una barra de "scroll":
- "Desmontar cubo"/"Montar cubo" que permite activar una animación en la que se muestra la descomposición del cubo, o viceversa. Al pulsarlos se desactiva la barra de "scroll" manual hasta que finaliza la animación.
- La barra de "scroll" permite realizar manualmente el desmontaje o montaje del cubo. Al usarla se desactivan los botones de montaje automático y se vuelven a activar una vez que el cubo haya sido montado o desmontado completamente con la barra, es decir, cuando esté en una de las posiciones extremas.
- "Ver vértices"/"Ocultar vértices" con el que se etiquetan los vértices del cubo y los de las pirámides que lo componen.
- "Ver longitudes"/"Ocultar longitudes" con el que se etiquetan las aristas del cubo y de las pirámides indicando la medida de cada una, permitiendo comparar y determinar que todas las pirámides son iguales.
- "Ver detalle de corte"/"Ocultar detalle corte" que muestra las caras que comparten las pirámides en la partición.
- Como funcionalidad básica de Descartes siempre se puede:
- Girar las figuras tridimensionales pulsando el botón izquierdo del ratón y desplazando éste, o usando los dedos en dispositivos táctiles. O en caso de objetos bidimensionales desplazarlos de igual forma salvo que el programador lo haya limitado.
- Ampliar, hacer zum, pulsando el botón derecho del ratón y desplazándolo hacia arriba o hacia abajo.
- Desarrollos de las pirámides de la partición; animación y desarrollo plano. En esta opción la escena se presenta dividida en tres zonas:
Cada una de las tres zonas están interconectadas y el movimiento que se haga en una se reflejará en las otras dos.
- Zona superior con un menú en el que seleccionar cada una de las pirámides que conforman la partición. El número de opciones varía entre tres y seis, segú sea el número de pirámides obtenidas.
- Zona inferior izquierda con una vista global de la partición desarollada y en la que se han etiquetado las pirámides con los números romanos I, II, III, IV, V, VI; pero no siempre será ese el número de pirámides. El usuario puede identificar la pirámide que ha seleccionado y ubicarla en el desarrollo global del cubo.
- Zona inferior derecha con un vista del desarrollo plano de la pirámide seleccionada.
Al elegir una opción de menú aparece la pirámide correspondiente y dos botones:En la zona del desarollo plano se dispone de un botón "imprimir" que da acceso a una pantalla en la que se puede seleccionar la escala deseada para el desarrollo y proceder a imprimirlo pulsando el icono de la impresora. El aspa permite cerrar esta pantalla y regresar a la situación anterior, pudiendo elegir otra pirámide.
- "Ver desarrollo"/"Ocultar desarrollo" que activa la animación.
- "Ver pirámide" que aparece cuando está visible el desarrollo y permite visualizarlo junto a la pirámide.
- Desarrollos planos de las pirámides de la partición. Se cuenta con un menú que permite seleccionar la pirámide de la partición que se desee en cada momento. Al seleccionar una se muestra el desarrollo correspondiente y permite modificar la escala, y el icono de la impresora permite proceder a su impresión. Esta opción es análoga a la imprimir antes indicada, pero en este caso, sin necesidad de pasar por el desarrollo tridimensional se puede imprimir el desarrollo de todas las pirámides. El usuario así puede montar el cubo a partir de dicha partición de una manera tangible.
- Ejemplo y fotografías de la reproducción en papel. Con las flechas inferiores se puede navegar por varias fotos que muestran la reproducción en papel de un ejemplo en el que el punto usado para definir la partición es M(0.40, -0.15, -0.05). Puede imprimirse este ejemplo pulsando el botón "Imprimir el ejemplo".
CONCLUSIONES
Se concluye que cuando el punto M seleccionado es un vértice del cubo la descomposición es en tres pirámides iguales, cuando ese punto se ubica en una arista la partición está formada por cuatro pirámides, si se sitúa en una cara del cubo son cinco y si está en el interior son seis. Los casos en los que las particiones obtenidas son más regulares son:La consideración de más puntos adicionales, en base a los que construir la partición, sólo conducirá a pirámides de base cuadrada cuando dichos puntos constituyan una retícula de cubos y en cada uno de estos cubos se proceda a realizar una de las particiones antes analizadas.
- La partición en tres pirámides siempre conduce a tres iguales. Un recurso específico para esta situacion es accesible desde esta dirección.
- La partición en cuatro pirámides conduce a que sean iguales dos a dos cuando el punto M es el punto medio de una arista del cubo. Puede consultarse este recurso.
- Para cinco pirámides, cuando el punto M es la intersección de las diagonales de una cara se obtiene cuatro pirámides iguales trirrectángulas y una quinta regular. Véase este enlace.
- Cuando el punto M es la intersección de las diagonales del cubo, entonces la partición obtenida tiene seis pirámides iguales. Aquí tiene un recurso interactivo que lo muestra.