Paso 1.
${{\sqrt {x + 2} - 1} \over {x + 1}}$ es de la forma $0/0$ en el punto $-1$. Comenzamos multiplicando el numerador y el denominador por ${\sqrt {x + 2} + 1}$ que es la espresión conjugada de ${\sqrt {x + 2} - 1}$
$$\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {{\sqrt {x + 2} - 1} \over {x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {{\sqrt {x + 2} - 1} \over {x + 1}} \cdot {{\sqrt {x + 2} + 1} \over {\sqrt {x + 2} + 1}}$$Paso 2.
Realiamos el producto del numerado pero no el denominador para poder cancelar posteriormente
$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {{x + 1} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {x + 2} + 1} \right)}}$$Paso 3.
Cancelando
$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {1 \over {\sqrt {x + 2} + 1}}$$Paso 4.
Aplicando finalmente las propiedades de los límites
$$\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {1 \over {\sqrt {x + 2} + 1}} = {1 \over 2}$$