Primero, necesitamos entender la región en la que vamos a integrar. Los lados del paralelogramo son $x - y + 1 = 0, x - y - 1 = 0, x - 3y + 5 = 0$ y $x - 3y + 9 = 0$ (ver figura). Otra forma de verlo es $x - y = −1, x - y = 1, x - 3y = −5$ y $x - 3y = 9$.
Claramente, el paralelogramo está limitado por las líneas $y = x + 1, y = x - 1, y = \frac13 (x + 5)$ e $y = \frac13 (x + 9)$.
Observa que si hiciéramos $u = x - y$ y $v = x - 3y$, entonces los límites de la integral serían $−1 \le u \le 1$ y $−9 \le v \le - 5$.
Para resolver $x$ e $y$, multiplicamos la primera ecuación por $3$ y restamos la segunda ecuación, $3u - v = 3x - 3y - x - 3y = 2x$. Entonces tenemos $x = \frac{3u - v}{2}$. Además, si simplemente restamos la segunda ecuación de la primera, obtenemos $u - v = (x - y) - (x− 3y) = 2y$ y $y = \frac{u - v}{2}$.
Figura 5.76. Un paralelogramo en el plano $xy$ que queremos transformar mediante un cambio de variables.
Por tanto, podemos elegir la transformación
$$T(u,v) = \bigg(\frac{3u-v}{2}, \frac{u-v}{2}\bigg)$$y calculando el jacobiano $J (u, v)$, tenemos
$$J(u,v) = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial u}\\ \\ \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3/2 & -1/2\\ \\ 1/2 & -1/2 \end{vmatrix} = -\frac34 + \frac14 = - \frac12$$Por lo tanto, $|J8u,v)| = \frac12$. Además, el integrando original se convierte en
$$x-y = \frac12[3u − v − u + v] = \frac12[3u − u] = \frac12[2u] = u$$Por tanto, mediante el uso de la transformación $T$, la integral cambia a
$$\iint_R(x-y)dydx = \int_{-9}^{-5}\int_{-1}^1 J(u,v)ududv = \int_{-9}^{-5}\int_{-1}^1 \frac12 ududv$$que es más fácil de calcular.