Solución

1. El cono es de radio $1 $donde se encuentra con el paraboloide. Dado que$ z = 2 - x^2 - y^2 = 2 - r^2$ y $z = \sqrt{x^2 + y^2} = r$ (asumiendo que r no es negativo), tenemos $2 - r^2 = r$. Resolviendo, tenemos $r^2 + r - 2 = (r + 2) (r - 1) = 0$. Como $r \ge0$, tenemos $r = 1$. Por lo tanto, $z = 1$. Entonces la intersección de estas dos superficies es un círculo de radio $1$ en el plano $z = 1$. El cono es el límite inferior de $z$ y el paraboloide es el límite superior. La proyección de la región sobre el plano $xy$ es el círculo de radio $1$ centrado en el origen.
   
   Por tanto, podemos describir la región como
   $$E = \lbrace (r, \theta, z)|0 \le \theta \le 2\pi, 0 \le r \le 1, r \le z \le 2 − r^2\rbrace$$ Por lo tanto, la integral del volumen es
   $$V = \int_{\theta =0}^{\theta=2\pi}\int_{r=0}^{r=1}\int_{z=r}^{z=2-r^2}r dz dr d\theta$$
2. También podemos escribir la superficie del cono como $r = z$ y el paraboloide como $r^2 = 2 - z$. El límite inferior para $r$ es cero, pero el límite superior es a veces el cono y otras veces es el paraboloide. El plano $z = 1$ divide la región en dos regiones. Entonces la región se puede describir como
   $$E = \lbrace (r, \theta, z)|0 \le \theta \le 2\pi, 0 \le z \le 1, 0 \le r \le z\rbrace\\ \cup \lbrace (r, \theta, z)|0 \le \theta \le 2\pi, 1 \le z \le 2, 0 \le r \le \sqrt{2 − z}\rbrace $$ Ahora la integral del volumen se convierte en $$V = \int_{\theta =0}^{\theta=2\pi}\int_{z=0}^{z=1}\int_{r=0}^{r=z}r dr dz d\theta + \int_{\theta =0}^{\theta=2\pi}\int_{z=1}^{z=2}\int_{r=0}^{r=\sqrt{2-z}}r dr dz d\theta$$