En primer lugar, dado que $cos \theta = 3/5$ y $\theta$ es agudo, esto implica
$$sen\theta = \sqrt{1-\bigg(\frac35\bigg)^2} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{6}$$Usando $f (x, y) = x^2 - xy + 3y^2$, primero calculamos $f (x + h cos \theta, y + h sen \theta)$: $$\begin{aligned} f (x + h cos \theta, y + h sen \theta) &= (x + h cos \theta)^2 − (x + h cos \theta)(y + h sen \theta) + 3(y + h sin \theta)^2\\ &= x^2 + 2xh cos \theta + h^2cos^2\theta − xy − xh sen \theta − yh cos \theta\\ & −h^2sen \theta cos \theta + 3y^2 + 6yh sen \theta + 3h^2sen^2\theta\\ &= x^2 + 2xh\bigg(\frac35\bigg) + \frac{9h^2}{25} − xy − \frac{4xh}{5} − \frac{3yh}{5} − \frac{12h^2}{25} + 3y^2\\ & +6yh\bigg(\frac45\bigg) + 3h^2\bigg(\frac{16}{25}\bigg)\\ &= x^2 − xy + 3y^2 + \frac{2xh}{5} + \frac{9h^2}{5} + \frac{21yh}{5} \end{aligned}$$
Sustituimos esta expresión en la ecuación 4.36:
$$\begin{aligned} D_\bold{u}f(a, b) &= \lim\limits_{h \to 0}\frac{f(a + h cos \theta, b + h sen \theta) − f(a, b)}{h}\\ &= \lim\limits_{h \to 0}\frac{\bigg(x^2 − xy + 3y^2 + \frac{2xh}{5} + \frac{9h^2}{5} + \frac{21yh}{5}\bigg)-\big(x^2- xy + 3y^2\big)}{h}\\ &= \lim\limits_{h \to 0}\frac{\frac{2xh}{5} + \frac{9h^2}{5} + \frac{21yh}{5}}{h}\\ &= \lim\limits_{h \to 0}\frac{2x}{5} + \frac{9h}{5} + \frac{21y}{5}\\ &= \frac{2x+21y}{5} \end{aligned}$$Para calcular $D_\bold{u} f (−1, 2)$, sustituimos $x = −1$ e $y = 2$ en esta respuesta:
$$\begin{aligned} D_\bold{u} f (−1, 2) &= \frac{2(−1) + 21(2)}{5}\\ &= \frac{-2+42}{5}\\ &= 8 \end{aligned}$$Observa la siguiente figura:
Figura 4.40. Encontrar la derivada direccional en una dirección dada $\bold{u}$ en un punto dado de una superficie. El plano es tangente a la superficie en el punto dado $(−1, 2, 15)$.