Solución

1. Establece $f(x, y) = 3x^2 - 2xy + y^2 + 4x - 6y - 11 = 0$, luego calcula $f_x$ y $f_y$:
   
   $$f_x = 6x-2y+4,\;\;\;f_y = -2x+2y-6$$ La derivada está dada por
   $$\frac{dy}{dx} = -\frac{\partial f/\partial x}{\partial f/\partial y}=-\frac{6x-2y+4}{-2x+2y-6} = \frac{3x − y + 2}{x − y + 3}$$ La pendiente de la línea tangente en el punto $(2, 1)$ viene dada por $$\frac{dy}{dx}\bigg|_{(x, y)=(2, 1)} = \frac{3(2) − 1 + 2}{2 − 1 + 3} = \frac74$$ Para encontrar la ecuación de la línea tangente, usamos la forma punto-pendiente (Figura 4.38): $$\begin{aligned} y-y_0 &= m(x-x_0)\\ y-1 &= \frac74 (x-2)\\ y &= \frac74 - \frac72 + 1 y &= \frac74 x - \frac52 \end{aligned}$$

   

   Figura 4.38. Gráfica de la elipse girada definida por $3x^2 - 2xy + y^2 + 4x - 6y - 11 = 0$

2. Tenemos $f (x, y, z) = x^2e^y - yze^x$. Por lo tanto,
   $$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x} &= 2xe^y − yze^x\\ \frac{\partial f}{\partial y} &= x^2e^y − ze^x\\ \frac{\partial f}{\partial z} &= -ye^2 \end{aligned}$$ Usando la ecuación 4.35

   $$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x} &= -\frac{\partial f/\partial x}{\partial f/\partial y}\\ &= -\frac{2xe^y − yze^x}{-ye^x}\\ &= \frac{2xe^y − yze^x}{ye^x} \end{aligned}$$

   y

   $$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial y} &= -\frac{\partial f/\partial y}{\partial f/\partial z}\\ &= -\frac{x^2e^y − ze^x}{-ye^x}\\ &= \frac{x^2e^y − ze^x}{ye^x} \end{aligned}$$