Solución

1. Para usar la regla de la cadena, necesitamos cuatro cantidades: $\partial z/\partial x$, $\partial z/\partial y$, $dx/dt$ y $dy/dt$:

   $$\frac{\partial z}{\partial x} = 8x$$	$$\frac{\partial z}{\partial y} = 6y$$
   $$\frac{dx}{dt} = cos t$$	$$\frac{dy}{dt} = -sen t$$

   Ahora, sustituimos en la Ecuación 4.29:
   $$\begin{aligned} \frac{dz}{dt} &= \frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}\\ &= (8x)(cost) + (6y)(-sent)\\ &= 8xcost − 6ysint \end{aligned}$$ Esta respuesta tiene tres variables. Para reducirla a una variable, usa el hecho de que $x(t) = sent$ y $y(t) = cost$. Obtenemos:
   $$\begin{aligned} \frac{dz}{dt} &= (8x)(cost) - (6y)(sent)\\ &= 8(sen t)cos t − 6(cos t)sen t\\ &= 2 sen t cos t. \end{aligned}$$ Esta derivada también se puede calcular sustituyendo primero $x (t)$ e $y (t)$ en $f (x, y)$, luego diferenciando con respecto a $t$:
   $$\begin{aligned} z &= f(x, y)\\ &= f\big(x(t), y(t)\big)\\ &= 4\big(x(t)\big)^2 + 3\big(y(t)\big)^2\\ &= 4sen^2t + 3cos^2t \end{aligned}$$ Luego
   $$\begin{aligned} \frac{dz}{dt} &= 2(4 sen t)(cos t) + 2(3 cos t)(−sen t)\\ &= 8 sen t cos t − 6 sen t cos t\\ &= 2 sen t cos t \end{aligned}$$ la cual es la misma solución. Sin embargo, no siempre es tan fácil diferenciarlo de esta forma.
2. Para usar la regla de la cadena, nuevamente necesitamos cuatro cantidades: $\partial z/\partial x$, $\partial z/\partial y$, $dx/dt$ y $dy/dt$:

   $$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2-y^2}}$$	$$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{-y}{\sqrt{x^2-y^2}}$$
   $$\frac{dx}{dt} = 2e^{2t}$$	$$\frac{dy}{dt} = -e^{-t}$$

   Ahora, sustituimos en la Ecuación 4.29:
   $$\begin{aligned} \frac{dz}{dt} &= \frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}\\ &= \bigg(\frac{x}{\sqrt{x^2-y^2}}\bigg)(2e^{2t}) + \bigg(\frac{-y}{\sqrt{x^2-y^2}}\bigg)(-e^{-t})\\ &= \frac{2xe^{2t} + ye^{−t}}{\sqrt{x^2-y^2}} \end{aligned}$$ Para reducir esto a una variable, usamos el hecho de que $x (t) = e^{2t}$ e $y (t) = e^{−t}$. Por lo tanto,
   $$\begin{aligned} \frac{dz}{dt} &= \frac{2xe^{2t} + ye^{−t}}{\sqrt{x^2-y^2}}\\ &= \frac{2\big(e^{2t}\big)e^{2t} + \big(e^{−t}\big)e^{−t}}{\sqrt{e^{4t}-e^{-2t}}}\\ &= \frac{2e^{4t}+e^{-2t}}{\sqrt{e^{4t}-e^{-2t}}} \end{aligned}$$ Para eliminar exponentes negativos, multiplicamos la parte superior por $e^{2t}$ y la inferior por $\sqrt{e^{4t}}$
   $$\begin{aligned} \frac{dz}{dt} &= \frac{2e^{4t}+e^{-2t}}{\sqrt{e^{4t}-e^{-2t}}} \frac{e^{2t}}{\sqrt{e^{4t}}}\\ &= \frac{2e^{6t} + 1}{\sqrt{e^{8t}-e^{2t}}}\\ &= \frac{2e^{6t} + 1}{\sqrt{e^{2t}\big(e^{6t}-1 \big)}}\\ &= \frac{2e^{6t} + 1}{e^t\sqrt{e^{6t}-1}} \end{aligned}$$ Nuevamente, esta derivada también se puede calcular sustituyendo primero $x (t)$ e $y (t)$ en $f (x, y)$, luego diferenciando con respecto a $t$:
   $$\begin{aligned} z &= f(x,y)\\ &= f\big(x(t), y(t)\big)\\ &= \sqrt{\big(x(t)\big)^2+\big(y(t)\big)^2}\\ &= \sqrt{e^{4t}-e^{-2t}}\\ &= \bigg(e^{4t}-e^{-2t}\bigg)^{1/2} \end{aligned}$$ Luego
   $$\begin{aligned} \frac{dz}{dt} &= \frac{1}{2}\bigg(e^{4t}-e^{-2t}\bigg)^{1/2}\big(4e^{4t}+2e^{-2t}\big)\\ &= \frac{2e^{4t}+e^{-2t}}{\sqrt{e^{4t}-e^{-2t}}} \end{aligned}$$ Es la misma solución.