Comenzamos con la curva definida por las ecuaciones.
$$x(t) = rcost,\; y(t) = rsent,\; 0\le t \le π.$$Esto genera un semicírculo superior de radio $r$ centrado en el origen como se muestra en el siguiente gráfico.
Figura 1.16 Un semicírculo generado por ecuaciones paramétricas.
$$\begin{aligned} S &= 2π\int_{a}^{b} y(t)\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}dt\\ &= 2π\int_{0}^{π} rsent \sqrt{(-rsent)^2 + (rcost)^2}dt\\ &= 2π\int_{0}^{π} rsent \sqrt{r^2sen^2t + r^2cos^2t}dt\\ &= 2π\int_{0}^{π} rsent \sqrt{r^2(sen^2t+cos^2t)}dt\\ &= 2π\int_{0}^{π} r^2sentdt\\ &= 2πr^2(-cost|_0^π)\\ &= 2πr^2(-cosπ+cos0)\\ &= 4πr^2 \end{aligned}$$